好的，这是根据你提供的代码编写的题解和算法标签。

题目解法分析

问题重述

给定一棵 $n$ 个节点的有根树，$q$ 次询问，每次给出 $l, r, k$，要求： [ \max_{l \le l' \le r' \le r,\ r'-l'+1 \ge k} \mathrm{dep}(\mathrm{LCA*}(l',r')) ] 其中 $\mathrm{LCA*}(l',r')$ 表示区间 $[l',r']$ 内所有节点的最近公共祖先。

算法思路

1. 关键观察

• 对于任意区间 $[l',r']$，$\mathrm{LCA*}(l',r')$ 等于区间内所有相邻节点对的 $\mathrm{LCA}$ 中深度最大的那个。

• 更具体地，$\mathrm{LCA*}(l',r') = \mathrm{LCA}(l',l'+1,\dots,r')$ 可以简化为： [ \mathrm{LCA*}(l',r') = \mathrm{LCA}(l',l'+1) \ \mathrm{or} \ \mathrm{LCA}(l'+1,l'+2) \ \dots ] 实际上，它等于 $\mathrm{LCA}(l',r')$ 吗？不完全是，但有一个重要性质： $\mathrm{LCA*}(l',r')$ 等于区间内所有相邻节点对的 LCA 中深度最大的那个。

  令 $w[i] = \mathrm{dep}(\mathrm{LCA}(i,i+1))$，则对于区间 $[l',r']$，其 $\mathrm{LCA*}$ 的深度等于 $w[l'],w[l'+1],\dots,w[r'-1]$ 中的最大值。

2. 问题转化

原问题转化为：

给定数组 $w[1 \dots n-1]$，多次询问：在区间 $[l, r-1]$ 中，找长度 $\ge k-1$ 的子区间 $[l',r']$，使得该子区间内的 $w$ 最大值最大。

注意：区间长度 $len$ 在原问题中对应节点区间长度，在 $w$ 数组中对应长度 $len-1$。

3. 单调栈预处理

• 对 $w$ 数组用单调栈求出每个 $w[i]$ 的支配区间 $[lt[i], rg[i]]$，表示 $w[i]$ 是 $w[lt[i] \dots rg[i]]$ 中的最小值。
• 这样，对于每个 $w[i]$，它能作为最小值的区间长度范围是已知的。

4. 三种情况处理

代码通过三种扫描方式处理不同情况的区间：

solve1() - 固定左端点

• 对于每个 $w[i]$，考虑它作为区间最小值的情况。
• 按 $k$ 排序，用线段树维护右端点对应的最大值。
• 处理询问：左端点固定时，在满足长度条件下查询右区间。

solve2() - 固定右端点

• 类似 solve1，但从右向左扫描。
• 处理右端点固定的情况。

solve3() - 区间长度固定

• 按区间长度排序处理。
• 对于每个 $w[i]$ 和询问的 $k$，在满足长度约束的区间内查询最大值。

5. 特殊情况处理

• 当 $k=1$ 时，区间可以只包含一个节点，此时答案就是区间内节点的最大深度，用预处理的线段树直接查询。

算法步骤

1. 树链剖分预处理

   • DFS 求深度、父节点、重儿子
   • 第二次 DFS 求祖先链顶
   • 实现 $O(\log n)$ 的 LCA 查询

2. 构建 w 数组

   • $w[i] = \mathrm{dep}(\mathrm{LCA}(i,i+1))$

3. 单调栈求支配区间

   • $lt[i]$: $w[i]$ 作为最小值的左边界
   • $rg[i]$: $w[i]$ 作为最小值的右边界

4. 三次扫描处理询问

   • 分别处理左端点固定、右端点固定、区间长度固定的情况
   • 用线段树维护区间最大值

5. 特殊处理 k=1

   • 直接查询节点深度最大值

复杂度分析

• 预处理: $O(n)$
• LCA 查询: $O(n \log n)$
• 三次扫描: $O((n+q) \log n)$
• 总复杂度: $O((n+q) \log n)$

算法标签

• 树链剖分 (Heavy-Light Decomposition)
• 最近公共祖先 (LCA)
• 单调栈 (Monotonic Stack)
• 线段树 (Segment Tree)
• 离线查询 (Offline Queries)
• 扫描线 (Sweep Line)

这个解法通过将树上的区间 LCA 问题转化为序列上的 RMQ 问题，再结合单调栈和线段树高效处理区间查询，是一个比较复杂的综合数据结构题。