算法标签

• DFS 序 + 线段树/树状数组
• 欧拉序处理
• 区间更新 + 单点查询

题目分析

这个问题需要动态维护二叉树的遍历顺序，其中每个节点有一个标记值 $x \in \{-1,0,1\}$ 控制该节点在遍历中的位置（在子节点之前/之间/之后访问）。

关键观察

1. 遍历顺序的递归定义：

   • 如果 $x = -1$：顺序为 [当前节点] + [左子树遍历] + [右子树遍历]
   • 如果 $x = 0$：顺序为 [左子树遍历] + [当前节点] + [右子树遍历]
   • 如果 $x = 1$：顺序为 [左子树遍历] + [右子树遍历] + [当前节点]

2. 子树大小计算： 对于节点 $u$，其子树大小 $size[u]$ 是固定的（不随 $x$ 变化），但节点在遍历中的位置取决于：

   • 祖先节点的 $x$ 值（决定当前节点在祖先的子树中的相对位置）
   • 左子树的大小（如果 $x = 0$ 或 $x = 1$，当前节点在左子树之后）

3. 动态维护挑战： 修改一个节点的 $x$ 值会影响其所有后代节点在遍历中的位置，因此需要高效的数据结构。

解决方案

使用 DFS 序 + 线段树 来维护：

1. 预处理：

   • 对树进行 DFS，记录每个节点的入序 $in[u]$ 和出序 $out[u]$
   • 计算每个节点的子树大小 $size[u]$
   • 记录父节点信息

2. 数据结构设计： 维护两棵线段树：

   • 标记树：存储每个节点的 $x$ 值，支持区间赋值
   • 偏移树：存储由于祖先节点的 $x$ 值变化导致的遍历位置偏移量

3. 位置计算： 节点 $u$ 的位置 = 1 + 所有在 $u$ 之前被访问的节点数量 可以通过在 DFS 序上维护前缀和来快速计算

题解代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 100005;

int n, q;
int L[MAXN], R[MAXN];
int x[MAXN];  // 每个节点的标记值，初始为-1

// DFS序相关
int in[MAXN], out[MAXN], dfs_time;
int parent[MAXN];
vector<int> children[MAXN];

// 子树大小
int sz[MAXN];

// 线段树：区间赋值，单点查询
struct SegmentTree {
    int tree[4 * MAXN];
    int lazy[4 * MAXN];
    
    void build(int idx, int l, int r) {
        lazy[idx] = -2;  // 无标记
        if (l == r) {
            tree[idx] = -1;  // 初始值为-1
            return;
        }
        int mid = (l + r) / 2;
        build(idx * 2, l, mid);
        build(idx * 2 + 1, mid + 1, r);
    }
    
    void push_down(int idx, int l, int r) {
        if (lazy[idx] != -2) {
            tree[idx] = lazy[idx];
            if (l != r) {
                lazy[idx * 2] = lazy[idx];
                lazy[idx * 2 + 1] = lazy[idx];
            }
            lazy[idx] = -2;
        }
    }
    
    void update(int idx, int l, int r, int ql, int qr, int val) {
        push_down(idx, l, r);
        if (ql > r || qr < l) return;
        if (ql <= l && r <= qr) {
            lazy[idx] = val;
            push_down(idx, l, r);
            return;
        }
        int mid = (l + r) / 2;
        update(idx * 2, l, mid, ql, qr, val);
        update(idx * 2 + 1, mid + 1, r, ql, qr, val);
    }
    
    int query(int idx, int l, int r, int pos) {
        push_down(idx, l, r);
        if (l == r) return tree[idx];
        int mid = (l + r) / 2;
        if (pos <= mid) return query(idx * 2, l, mid, pos);
        else return query(idx * 2 + 1, mid + 1, r, pos);
    }
} seg_x;

void dfs(int u, int p) {
    parent[u] = p;
    in[u] = ++dfs_time;
    sz[u] = 1;
    
    if (L[u] != 0) {
        children[u].push_back(L[u]);
        dfs(L[u], u);
        sz[u] += sz[L[u]];
    }
    if (R[u] != 0) {
        children[u].push_back(R[u]);
        dfs(R[u], u);
        sz[u] += sz[R[u]];
    }
    
    out[u] = dfs_time;
}

// 计算节点u在其子树中的相对位置
int get_relative_position(int u) {
    int pos = 1;  // 从1开始计数
    
    int current_x = seg_x.query(1, 1, n, u);
    
    if (L[u] != 0) {
        if (current_x == -1) {
            // 当前节点在最前，先加自己
            pos += 0;  // 自己还没算
        } else {
            // 当前节点在中间或后面，左子树在前
            pos += sz[L[u]];
        }
    }
    
    if (R[u] != 0 && current_x != 1) {
        // 如果当前节点不在最后，右子树在当前位置之后
        pos += sz[R[u]];
    }
    
    return pos;
}

// 计算节点u在整个遍历中的绝对位置
int get_absolute_position(int u) {
    int pos = 1;  // 从1开始
    
    // 从u向上到根，计算每个祖先的贡献
    vector<int> path;
    int cur = u;
    while (cur != 0) {
        path.push_back(cur);
        cur = parent[cur];
    }
    reverse(path.begin(), path.end());
    
    for (int i = 0; i < path.size(); i++) {
        int node = path[i];
        if (node == u) {
            // 到达目标节点，加上在其子树中的相对位置
            pos += get_relative_position(node) - 1;
            break;
        }
        
        int current_x = seg_x.query(1, 1, n, node);
        
        // 左子树的贡献
        if (L[node] != 0 && L[node] != u && in[L[node]] <= in[u] && in[u] <= out[L[node]]) {
            // u在左子树中
            if (current_x == -1) {
                // 当前节点在最前，左子树在节点之后
                pos += 1;  // 跳过当前节点
            }
            // 继续在左子树中搜索
            continue;
        }
        
        // 右子树的贡献
        if (R[node] != 0 && R[node] != u && in[R[node]] <= in[u] && in[u] <= out[R[node]]) {
            // u在右子树中
            if (current_x == -1) {
                pos += 1 + (L[node] != 0 ? sz[L[node]] : 0);
            } else if (current_x == 0) {
                pos += (L[node] != 0 ? sz[L[node]] : 0) + 1;
            }
            // current_x == 1: 右子树在最前，已在前面计算
            continue;
        }
        
        // u不在当前节点的直接子树中，加上整个左子树
        if (L[node] != 0 && in[u] > out[L[node]]) {
            pos += sz[L[node]];
        }
        
        // 加上当前节点（如果在u之前）
        if (current_x != 1 && node != u) {
            pos += 1;
        }
        
        // 加上整个右子树（如果在u之前）
        if (R[node] != 0 && in[u] > out[R[node]] && current_x != 1) {
            pos += sz[R[node]];
        }
    }
    
    return pos;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    cin >> n >> q;
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> L[i] >> R[i];
        x[i] = -1;  // 初始值
    }
    
    // DFS预处理
    dfs_time = 0;
    dfs(1, 0);
    
    // 初始化线段树
    seg_x.build(1, 1, n);
    
    // 处理查询
    for (int i = 0; i < q; i++) {
        int t;
        cin >> t;
        
        if (t == 1) {
            int l, r, val;
            cin >> l >> r >> val;
            seg_x.update(1, 1, n, l, r, val);
        } else {
            int u;
            cin >> u;
            cout << get_absolute_position(u) << "\n";
        }
    }
    
    return 0;
}

更高效的实现（使用欧拉序）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 100005;

int n, q;
int L[MAXN], R[MAXN];
int x_val[MAXN];

// 欧拉序相关
int euler[2 * MAXN], pos_in_euler[MAXN], euler_time;
int left_size[MAXN], right_size[MAXN];

void dfs_euler(int u) {
    if (u == 0) return;
    
    // 记录节点进入
    euler[++euler_time] = u;
    pos_in_euler[u] = euler_time;
    
    int x = x_val[u];
    
    if (x == -1) {
        // 先访问当前节点（已记录），然后左右子树
        dfs_euler(L[u]);
        dfs_euler(R[u]);
    } else if (x == 0) {
        // 先左子树，然后当前节点，然后右子树
        dfs_euler(L[u]);
        euler[++euler_time] = u;  // 再次记录当前节点
        dfs_euler(R[u]);
    } else {  // x == 1
        // 先左右子树，然后当前节点
        dfs_euler(L[u]);
        dfs_euler(R[u]);
        euler[++euler_time] = u;  // 再次记录当前节点
    }
}

// 树状数组：单点更新，区间求和
struct Fenwick {
    int bit[2 * MAXN];
    
    void update(int idx, int val) {
        for (; idx <= 2 * n; idx += idx & -idx) {
            bit[idx] += val;
        }
    }
    
    int query(int idx) {
        int res = 0;
        for (; idx > 0; idx -= idx & -idx) {
            res += bit[idx];
        }
        return res;
    }
    
    int range_sum(int l, int r) {
        return query(r) - query(l - 1);
    }
} fenw;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    cin >> n >> q;
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> L[i] >> R[i];
        x_val[i] = -1;  // 初始值
    }
    
    // 初始欧拉序
    euler_time = 0;
    dfs_euler(1);
    
    // 初始化树状数组：每个欧拉序位置标记为1
    for (int i = 1; i <= euler_time; i++) {
        fenw.update(i, 1);
    }
    
    // 处理查询（简化版：每次修改后重建欧拉序）
    // 注意：实际比赛需要更高效的增量更新
    
    for (int i = 0; i < q; i++) {
        int t;
        cin >> t;
        
        if (t == 1) {
            int l, r, x;
            cin >> l >> r >> x;
            
            // 更新标记值
            for (int j = l; j <= r; j++) {
                x_val[j] = x;
            }
            
            // 重建欧拉序（简化实现，实际应用需要优化）
            euler_time = 0;
            dfs_euler(1);
            
            // 重建树状数组
            memset(fenw.bit, 0, sizeof(fenw.bit));
            for (int j = 1; j <= euler_time; j++) {
                fenw.update(j, 1);
            }
            
        } else {
            int u;
            cin >> u;
            // 节点u在欧拉序中第一次出现的位置前有多少个节点
            cout << fenw.query(pos_in_euler[u]) << "\n";
        }
    }
    
    return 0;
}

复杂度分析

• 朴素方法：每次查询 $O(n)$，总复杂度 $O(nq)$，只能过小数据
• 优化方法：使用欧拉序 + 树状数组，查询 $O(\log n)$，但修改需要 $O(n)$ 重建
• 目标复杂度：$O((n+q)\log n)$ 需要更复杂的数据结构维护动态欧拉序