🔢 问题分析

我们需要找出所有满足以下条件的整数对 $(x, y)$：

1. $0 \le x \le a$
2. $0 \le y \le b$
3. $x + y > 0$
4. $n$ 能整除 $x + y$

设 $s = x + y$，则 $s$ 必须是 $n$ 的倍数，且 $0 < s \le a + b$。对于每个可能的 $s = k \cdot n$（其中 $k$ 为正整数，且 $s \le a+b$），$x$ 的取值范围必须同时满足 $0 \le x \le a$ 和 $0 \le s - x \le b$。

💡 核心思路与解法

对于每一个有效的 $s = k \cdot n$，有效的 $x$ 的个数（也就对应了方案数）为： [ \text{count}(k) = \max(0, \min(a, s) - \max(0, s - b) + 1) ] 这个公式计算的是区间 $[\max(0, s-b), \min(a, s)]$ 内整数的个数。

总方案数就是对所有有效的 $k$ 求和： [ \text{答案} = \sum_{k=1, \ s=k \cdot n \le a+b}^{\lfloor (a+b)/n \rfloor} \text{count}(k) ]

🧮 计算步骤

1. 确定范围：计算 $k$ 的最大值 $K = \lfloor (a+b) / n \rfloor$。如果 $K = 0$，则答案为 $0$（因为不存在正整数 $k$ 使得 $s>0$）。
2. 遍历 $k$：对于 $k$ 从 $1$ 到 $K$：
   • 计算 $s = k \cdot n$。
   • 计算 $x$ 的下界 $L = \max(0, s - b)$。
   • 计算 $x$ 的上界 $R = \min(a, s)$。
   • 如果 $L \le R$，则方案数增加 $(R - L + 1)$。
3. 输出总和。

💎 总结

该问题的核心是将原问题转化为对特定长度的等差数列项进行条件计数，并通过直接计算可行区间长度来高效求解。这种方法避免了枚举所有可能的 $(x, y)$ 对，适用于大输入范围。