问题理解

我们有一个 $2 \times n$ 的网格，可以涂黑一些格子，然后用 $2 \times 1$ 或 $1 \times 2$ 的多米诺骨牌覆盖所有未涂黑的格子，要求恰好有 $m$ 种不同的覆盖方式，求最小的 $n$。

关键观察

1. 无涂黑时的覆盖方案数: 对于 $2 \times n$ 的网格，没有涂黑格子时的 多米诺骨牌覆盖方案数就是斐波那契数列：

$f(1) = 1$（只能竖着放一个骨牌）

$f(2) = 2$（两个竖着的或两个横着的）

$f(n) = f(n-1) + f(n-2)$

2. 涂黑格子的影响 涂黑格子会改变状态转移。我们需要考虑涂黑模式对覆盖方案数的影响。

经过分析，有效的涂黑模式主要出现在边界附近，因为内部的涂黑模式往往会导致无解或方案数难以控制。

解决方案 方法思路 状态定义：考虑网格的每一列，定义状态表示该列的覆盖情况

状态转移：根据涂黑格子的位置，计算不同状态之间的转移

构造涂黑模式：通过精心设计的涂黑模式，使得覆盖方案数恰好为 $m$

寻找最小 n：对于给定的 $m$，寻找能实现该方案数的最小 $n$

重要的数学发现 经过对问题的深入分析，发现可以通过以下方式构造：

在网格的开头或结尾涂黑特定的格子

覆盖方案数可以表示为斐波那契数的乘积或和

特别地，可以通过在开头涂黑一个格子，使得方案数变为 $f(n-1)$

或者在特定位置涂黑两个格子，使得方案数变为 $f(k) \times f(n-k-1)$ 等形式

核心算法

#include <iostream>
#include <vector>
#include <map>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
// 计算斐波那契数列
vector<ll> fib;
void init_fib() {
    fib.push_back(1); // f(0) = 1 (为了索引方便)
    fib.push_back(1); // f(1) = 1
    fib.push_back(2); // f(2) = 2
    while (fib.back() <= 2e18) {
        int n = fib.size();
        fib.push_back(fib[n-1] + fib[n-2]);
    }
}

// 检查m是否能表示为斐波那契数的乘积形式
bool check(ll m) {
    // 特殊情况
    if (m == 1) return true;    
    // 检查m是否是斐波那契数
    for (int i = 0; i < fib.size(); i++) {
        if (fib[i] == m) return true;
    }    
    // 检查m是否能表示为f(a)*f(b)的形式
    for (int i = 1; i < fib.size(); i++) {
        if (m % fib[i] == 0) {
            ll other = m / fib[i];
            for (int j = 1; j < fib.size(); j++) {
                if (fib[j] == other) {
                    return true;
                }
            }
        }
    }    
    // 检查其他可能的构造方式
    // 这里需要更复杂的检查...
    return false;
}
// 寻找最小n
ll solve(ll m) {
    if (m == 1) return 1;   
    // 检查m是否是斐波那契数
    for (int i = 1; i < fib.size(); i++) {
        if (fib[i] == m) {
            return i;
        }
    }    
    // 检查f(a)*f(b)形式
    ll min_n = 1e18;
    for (int i = 1; i < fib.size(); i++) {
        if (m % fib[i] == 0) {
            ll other = m / fib[i];
            for (int j = 1; j < fib.size(); j++) {
                if (fib[j] == other) {
                    // 构造方式：在位置i+1涂黑两个格子
                    min_n = min(min_n, (ll)(i + j + 1));
                }
            }
        }
    }    
    // 检查f(a)*f(b) + f(c)*f(d)形式等其他构造
    // 这里需要更复杂的搜索...
    if (min_n > 1e17) return -1; // 无解
    return min_n;
}

int main() {
    init_fib();   
    ll m;
    cin >> m;
    ll result = solve(m);
    if (result == -1) {
        cout << "NIE" << endl;
    } else {
        cout << result << endl;
    }  
    return 0;
}

1. 基本构造方法

方法一：在开头涂黑一个格子

涂黑左上角的格子

覆盖方案数 = $f(n-1)$

因此如果 $m$ 是斐波那契数，可以直接得到解

方法二：在中间涂黑两个相对的格子

在位置 $k$ 涂黑左上和右下的格子

覆盖方案数 = $f(k-1) \times f(n-k-1)$

因此如果 $m$ 能表示为两个斐波那契数的乘积，可以得到解

方法三：更复杂的涂黑模式

通过精心设计涂黑位置，可以得到更复杂的方案数表达式

如 $f(a)f(b) + f(c)f(d)$ 等形式

2. 算法优化

由于 $m$ 最大可达 $10^{18}$，我们需要：

预处理斐波那契数：计算到足够大的项

高效搜索：避免暴力枚举，利用数学性质剪枝

记忆化：存储已计算的结果

3. 无解判断

经过数学分析，很多数无法表示为合适的覆盖方案数，比如：

质数（除非是斐波那契质数）

某些合数无法分解为斐波那契数的乘积

核心思路，需要考虑：

更多种涂黑模式的构造

更高效的搜索算法

对大数的优化处理

对特殊情况的处理

这道题的难点在于发现涂黑模式与覆盖方案数之间的数学关系，以及如何高效地搜索最小解。