问题分析 关键观察 条件转化 原条件等价于：对于任意两点 $u,v$，要么存在一条路径同时包含 $u$ 和 $v$，要么存在一个点 $w$ 和两条路径，使得 $u,w$ 在一条路径上，$w,v$ 在另一条路径上。

图的直径约束 新图 $G$ 的直径不超过 $2$。

树结构利用 由于原图是树，路径具有很好的性质。任意两条路径如果有交，则它们的并集可能形成更复杂的连通结构。

解法思路 核心思想：树形 DP + 组合计数 我们考虑使用树形 DP来统计满足条件的路径子集数量。

状态设计 设 $dp[u][state]$ 表示以 $u$ 为根的子树中，路径覆盖情况为 $state$ 时的方案数。 其中 $state$ 需要编码以下信息：

子树内哪些点需要与子树外的点连通

路径的端点分布情况

经过分析，可以发现一个关键性质：所有被选路径的并集必须形成一个直径 $\leq 2$ 的子图。 这意味着这些路径必须有一个或多个“中心点”，使得所有路径都经过至少一个中心点。

中心点分类讨论 单中心情况 所有路径都经过某个点 $c$。此时任意两点要么直接在同一路径中，要么通过 $c$ 相连（距离为 $2$）。

双中心情况 路径经过两个相邻的点 $c_1,c_2$。此时任意两点要么在同一路径中，要么通过 $c_1$ 或 $c_2$ 相连。

DP 状态简化 实际上，我们可以枚举每个点作为“中心”或“非中心”的情况：

设 $f[u][k]$ 表示以 $u$ 为根的子树中，$u$ 作为中心点（$k=1$）或非中心点（$k=0$）时的方案数。

但这样还不够，我们需要知道 $u$ 与父节点的连通情况，因此状态需要扩展：

$dp[u][a][b]$：

$a$：$u$ 是否作为中心点（0/1）

$b$：$u$ 是否与父节点所在部分连通（0/1）

状态转移 转移时考虑 $u$ 的每个子节点 $v$，以及 $u$ 与 $v$ 之间的边 $(u,v)$ 是否被某条路径覆盖：

边不被覆盖 $v$ 的子树自成体系，但要满足直径约束。

边被覆盖 此时 $u$ 和 $v$ 通过路径连接，需要合并它们的状态。

具体的转移方程较为复杂，需要仔细处理组合计数。