题解：How to Avoid Disqualification in 75 Easy Steps

题目分析

本题是一道交互题，核心目标是通过最多 $R$ 个扫地机器人和 $H$ 小时，确定两位主席在 $1 \sim 1000$ 中的位置（允许位置相同）。机器人的核心功能是探测一组位置中是否存在至少一位主席，返回结果为 $1$（存在）或 $0$（不存在）。

关键约束

• 机器人总数限制：最多调用 $send$ 函数 $R$ 次，每次发送的位置需两两不同。
• 时间限制：最多调用 $wait$ 函数 $H$ 次，每次 $wait$ 对应 1 小时。
• 交互独立性：机器人探测与结果返回异步，$wait$ 会返回上一次 $wait$ 后所有 $send$ 的结果。

核心挑战

需根据不同的 $R$ 和 $H$ 组合设计策略，在资源限制内高效缩小可能的位置对 $(a,b)$，最终唯一确定答案。

算法设计

代码针对不同的 $R$、$H$ 组合设计了 4 种策略，分别对应不同子任务，核心思路均为“分治+编码压缩”，利用二进制或自定义编码降低探测维度。

策略 1：Work0（$R=10, H=1$，主席同位置）

适用场景

子任务 1：$R=10$、$H=1$ 且两位主席位置相同（即只需确定单个位置）。

核心思路：二进制编码探测

• 将 $1 \sim 1000$ 的每个位置映射到 10 位二进制数（$2^{10}=1024 \geq 1000$）。
• 构造 10 个探测集合：第 $j$ 个集合包含所有二进制第 $j$ 位为 $1$ 的位置。
• 一次性发送 10 个机器人（$H=1$ 支持批量发送后统一等待），根据返回结果的二进制组合确定目标位置。

示例

若返回结果为 $\{1,0,1,0,\dots\}$，则目标位置的二进制第 $0$ 位、第 $2$ 位为 $1$，其余为 $0$，转换为十进制即为答案。

策略 2：Work1（$H=20$，$R=H=20$）

适用场景

子任务 2：$R=H=20$，时间充足但机器人数量有限。

核心思路：二分查找单位置

由于 $H$ 充足（20 小时），可分两次二分查找分别确定两个主席的位置：

1. 第一次二分：每次发送机器人探测当前区间的左半部分，根据返回结果 $1$（目标在左半）或 $0$（目标在右半）缩小范围，直至找到第一个位置 $ans0$。
2. 第二次二分：同理找到第二个位置 $ans1$（允许与 $ans0$ 相同）。

复杂度分析

• 二分查找单次复杂度：$\log_2 1000 \approx 10$ 次 $send$ 和 $wait$，两次共需约 20 次，刚好匹配 $R=H=20$ 的限制。

策略 3：Work2（$H=2$）

适用场景

子任务 3：$R=30$、$H=2$，时间有限但机器人数量充足。

核心思路：双编码分层探测

• 第一层编码（20 个机器人，$H=1$）：为每个位置分配 10 位二进制，构造 $2 \times 10$ 个集合（第 $2j$ 位为原第 $j$ 位，第 $2j+1$ 位为原第 $j$ 位的反）。通过返回结果初步筛选可能的位置，确定二进制中“确定位”和“不确定位”。
• 第二层编码（最多 10 个机器人，$H=2$）：针对不确定位，构造补充探测集合，进一步缩小范围，最终确定两个位置。

关键优化

通过双编码压缩探测维度，将原本需要 $O(1000^2)$ 的位置对探测，压缩到 $O(20 + 10)$ 个机器人，适配 $H=2$ 的时间限制。

策略 4：Work3（$H=1$，$R \leq 75$）

适用场景

子任务 4：$H=1$、$R \leq 75$（重点优化 $R \leq 26$ 以拿满分），需一次性发送所有机器人并等待结果。

核心思路：自定义编码去重+集合筛选

• 自定义编码数组 $D$：包含 1000 个互不相同的整数，每个整数对应一个位置的“特征编码”。
• 位置对编码：对于位置对 $(i,j)$（$i \leq j$），其编码为 $D[i] | D[j]$（按位或），且保证所有位置对的编码互不重复（通过预排序验证去重）。
• 构造 26 个探测集合：第 $j$ 个集合包含所有 $D[i]$ 第 $j$ 位为 $1$ 的位置。
• 筛选逻辑：根据返回结果，筛选出编码特征与结果完全匹配的位置对，即为答案。

核心优势

• 编码去重：通过自定义 $D$ 数组确保位置对与编码一一对应，避免歧义。
• 高效压缩：26 个探测集合即可覆盖所有位置对特征（$2^{26}$ 足够区分 $1000 \times 1000$ 个位置对），适配 $H=1$ 且 $R \leq 26$ 的严格限制。

代码关键模块解析

1. 编码与探测集合构造

• 二进制编码（Work0/Work2）：将位置映射到二进制位，通过位运算构造探测集合。
• 自定义编码（Work3）：$D$ 数组提供独特特征编码，通过按位或合并位置对信息，确保编码唯一性。

2. 结果解析逻辑

• 二进制结果转位置：将 $wait$ 返回的 $0/1$ 序列视为二进制数，转换为十进制位置（Work0）。
• 集合筛选：通过位运算筛选出编码特征与探测结果匹配的位置/位置对（Work2/Work3）。

3. 资源适配

代码在 scout 函数中根据 $R$ 和 $H$ 的值自动选择策略，适配不同子任务的资源限制。

复杂度分析

策略	时间复杂度（$H$）	空间复杂度（$R$）	适用场景
Work0	$O(1)$	$O(\log N)$	$R=10, H=1$，同位置
Work1	$O(\log N)$		$R=H=20$，充足时间
Work2	$O(2)$		$R=30, H=2$，中等资源
Work3	$O(1)$	$O(\log(N^2))$	$R \leq 75, H=1$，严格时间

注：$N=1000$ 为位置总数，$\log N \approx 10$，$\log(N^2) \approx 20$，策略 3 实际使用 26 个机器人，满足满分要求。

关键优化点

1. 编码去重：Work3 中 $D$ 数组的设计确保位置对编码唯一，避免多解歧义。
2. 批量探测：适配 $H=1$ 的场景，一次性发送所有机器人，减少时间消耗。
3. 分治压缩：通过二进制或自定义编码，将二维位置对问题转化为一维探测问题，降低资源消耗。

注意事项

1. 位置合法性：每次 $send$ 的位置必须在 $1 \sim 1000$ 且两两不同，否则会被判为非法。
2. 资源控制：严格遵守 $send$ 和 $wait$ 的调用次数限制，超限制会直接终止程序。
3. 交互逻辑：$wait$ 的返回结果与 $send$ 顺序一致，需妥善记录发送顺序以匹配结果。

完整代码

#include "avoid.h"
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int M = 70;

int n = 1000;

inline PII Work0() {
    vector<int> p[M];

    for (int i = 0; i < n; i ++)
        for (int j = 0; j < 10; j ++)
            if (i >> j & 1)
                p[j].push_back(i + 1);

    for (int i = 0; i < 10; i ++)
        send(p[i]);

    vector<int> r = wait();
    int ans = 0;

    for (int i = 0; i < 10; i ++)
        ans |= r[i] << i;

    return make_pair(ans + 1, ans + 1);
}

int ans0, ans1;
inline void Solve11(int l, int r) {
    if (l == r) {
        if (ans0)
            ans1 = l;
        else
            ans0 = l;

        return ;
    }

    vector<int> pl;
    int mid = (l + r) >> 1;

    for (int i = l; i <= mid; i ++)
        pl.push_back(i);

    send(pl);
    vector<int> R = wait();

    if (R[0])
        Solve11(l, mid);
    else
        Solve11(mid + 1, r);
}
inline void Solve12(int l, int r) {
    if (l == r) {
        if (ans0)
            ans1 = l;
        else
            ans0 = l;

        return ;
    }

    vector<int> pr;
    int mid = (l + r) >> 1;

    for (int i = mid + 1; i <= r; i ++)
        pr.push_back(i);

    send(pr);
    vector<int> R = wait();

    if (R[0])
        Solve12(mid + 1, r);
    else
        Solve12(l, mid);
}
inline PII Work1() {
    Solve11(1, n), Solve12(1, n);
    return make_pair(ans0, ans1);
}

inline PII Work2() {
    vector<int> p[M];

    for (int i = 0; i < n; i ++)
        for (int j = 0; j < 10; j ++)
            p[j << 1 | (i >> j & 1)].push_back(i + 1);

    for (int i = 0; i < 20; i ++)
        send(p[i]);

    vector<int> r = wait();
    vector<int> p1;

    for (int i = 0; i < 10; i ++) {
        if (r[i << 1] && r[i << 1 | 1])
            p1.push_back(i);
        else
            ans0 |= r[i << 1 | 1] << i;
    }

    ans1 = ans0;
    int m = p1.size();

    if (!m)
        return make_pair(ans0 + 1, ans1 + 1);

    ans1 |= 1 << p1[0];
    cerr << p1[0] << endl;

    if (m == 1)
        return make_pair(ans0 + 1, ans1 + 1);

    for (int i = 0; i < m - 1; i ++) {
        p[i].clear();

        for (int j = 0; j < 1 << (m - 1); j ++) {
            if (!(j >> i & 1))
                continue;

            int t = ans1;

            for (int k = 0; k < m - 1; k ++)
                if (j >> k & 1)
                    t |= 1 << p1[k + 1];

            if (t < n)
                p[i].push_back(t + 1);
        }
    }

    for (int i = 0; i < m - 1; i ++)
        send(p[i]);

    r = wait();

    for (int i = 0; i < m - 1; i ++) {
        if (r[i])
            ans1 |= 1 << p1[i + 1];
        else
            ans0 |= 1 << p1[i + 1];
    }

    return make_pair(ans0 + 1, ans1 + 1);
}

const long long D[] = {
    255, 1823, 2919, 3499, 3795, 5037, 5491, 6493, 7062, 9139, 9581, 10813, 11209, 11669, 13455, 16033, 17358, 17912, 19130, 21110, 22059, 22727, 26309, 27762, 28955, 31116, 33749, 34278, 35290, 36457, 37467, 38967, 42819, 45285, 45358, 48153, 50579, 52302, 53705, 54332, 61064, 67182, 67902, 70364, 72870, 75444, 77945, 79298, 79621, 82263, 83102, 84629, 88673, 89416, 92323, 99501, 102154, 104554, 107364, 111250, 121604, 122895, 132725, 134797, 135907, 137848, 138315, 139708, 140890, 148329, 148901, 149972, 153898, 155703, 159520, 161873, 166706, 169304, 174250, 179072, 185105, 187584, 193542, 197616, 202921, 205191, 209939, 210958, 221740, 229582, 232005, 241985, 246360, 263847, 264689, 267853, 268088, 270935, 276523, 278845, 281894, 282842, 291985, 295658, 297628, 302402, 304329, 311651, 312916, 321810, 324099, 330515, 332642, 339014, 346189, 349828, 360603, 369713, 376320, 379296, 386368, 394700, 396311, 406154, 406817, 418020, 430916, 445488, 450712, 475909, 479282, 509057, 526009, 529644, 531274, 531905, 532854, 536071, 537297, 541620, 543027, 547866, 550786, 551500, 561310, 563568, 569954, 574023, 581721, 582820, 590237, 592981, 599457, 610350, 621600, 625187, 627723, 641728, 656626, 669890, 674017, 688461, 689926, 694531, 723602, 724552, 729866, 757936, 788694, 793125, 795480, 797752, 806657, 820561, 860302, 866576, 923520, 926731, 934426, 938068, 944448, 960524, 1036800, 999880, 1017989, 1051230, 1053877, 1054534, 1056044, 1057642, 1061560, 1067339, 1068593, 1070800, 1073933, 1082780, 1084070, 1091937, 1098922, 1115335, 1118503, 1121928, 1124784, 1134824, 1139786, 1148466, 1153553, 1159252, 1163564, 1180315, 1190662, 1200206, 1206298, 1215570, 1218712, 1222149, 1246028, 1247345, 1270656, 1294355, 1311698, 1316227, 1320588, 1321186, 1323337, 1333385, 1340512, 1360688, 1379369, 1403920, 1441965, 1444641, 1475876, 1542336, 1573857, 1583320, 1590317, 1601826, 1614276, 1615384, 1623362, 1640324, 1663252, 1677318, 1716756, 1722128, 1835434, 1869835, 1872424, 1905232, 1974913, 2007088, 2032664, 2100444, 2102938, 2106595, 2107471, 2110292, 2112290, 2115378, 2120112, 2122194, 2130235, 2133780, 2142761, 2146845, 2151506, 2163433, 2166113, 2166935, 2188049, 2192396, 2196812, 2206018, 2226177, 2228798, 2247299, 2249356, 2263249, 2285642, 2295331, 2298274, 2303252, 2315360, 2328256, 2360172, 2362649, 2369590, 2382408, 2394277, 2412932, 2425286, 2474040, 2491057, 2497696, 2502789, 2564688, 2628870, 2638029, 2646186, 2650629, 2655656, 2657154, 2689648, 2697380, 2706562, 2752867, 2755684, 2765896, 2801812, 2887793, 2892323, 2901344, 2950676, 2953481, 2990720, 3016778, 3051650, 3148906, 3165508, 3171846, 3182607, 3183072, 3189266, 3213701, 3252362, 3277913, 3287077, 3330082, 3353096, 3421952, 3441348, 3477556, 3506249, 3556482, 3606531, 3670840, 3679505, 3681920, 3723393, 3805706, 3885072, 4014113, 4197605, 4199641, 4203244, 4203579, 4204883, 4208952, 4214672, 4215683, 4219505, 4227900, 4229263, 4232994, 4238664, 4248645, 4251798, 4260698, 4266690, 4276454, 4282520, 4297253, 4305312, 4310120, 4331022, 4336212, 4336678, 4342046, 4346544, 4383753, 4391091, 4419652, 4426755, 4460956, 4467586, 4475000, 4479508, 4491013, 4503620, 4530469, 4548098, 4563720, 4590248, 4592065, 4605002, 4620934, 4662312, 4720488, 4744724, 4751475, 4755076, 4758081, 4761761, 4794393, 4801289, 4851089, 4853831, 4885792, 4931724, 4998305, 5003522, 5013801, 5051410, 5056704, 5258245, 5288130, 5296177, 5326210, 5374324, 5383376, 5390915, 5441928, 5472404, 5472777, 5521828, 5578828, 5640290, 5768215, 5779848, 5808676, 5898840, 5966340, 6097184, 6301066, 6311975, 6321728, 6330456, 6359594, 6367809, 6375446, 6424993, 6456370, 6460800, 6488184, 6555234, 6558345, 6578217, 6619537, 6725952, 6799364, 6828384, 6837505, 6850058, 6916108, 6931472, 7106688, 7344788, 7357720, 7362625, 7442450, 7602262, 7651338, 8069121, 8130584, 8392524, 8395417, 8395862, 8399006, 8401384, 8406754, 8409445, 8415000, 8423344, 8431146, 8436296, 8440105, 8446997, 8455481, 8462923, 8473796, 8476208, 8480006, 8489076, 8492550, 8497537, 8507540, 8523823, 8544913, 8564873, 8572418, 8581408, 8585626, 8585893, 8596288, 8615040, 8655270, 8660306, 8665200, 8668268, 8671758, 8676228, 8717249, 8717327, 8751682, 8784322, 8804896, 8827920, 8847668, 8917767, 8925722, 8931467, 8947077, 8956994, 8958225, 8982288, 9035810, 9046105, 9077788, 9118816, 9177357, 9183401, 9195587, 9229344, 9338980, 9375784, 9437591, 9474595, 9520163, 9571601, 9576525, 9590789, 9602209, 9699443, 9733762, 9736220, 9756681, 9766304, 9806096, 9847828, 9932802, 9973860, 9978200, 9996680, 10027714, 10207240, 10365952, 10490697, 10494373, 10513448, 10537296, 10563666, 10619164, 10649987, 10689152, 10760268, 10785801, 10863360, 10944736, 11011155, 11015716, 11100304, 11113024, 11150850, 11534542, 11541633, 11576368, 11622432, 11800784, 11846720, 12093445, 12190468, 12321376, 12596612, 12599375, 12620114, 12632968, 12715331, 12722738, 12749000, 12785924, 12846617, 12852234, 12871840, 12916032, 13107758, 13127984, 13177985, 13256256, 13287441, 13371922, 13635330, 13666864, 13676584, 13699217, 13776384, 13779233, 14237764, 14290962, 14418689, 14717104, 14731777, 14745772, 14822528, 14844200, 15468609, 15729600, 15786240, 16130052, 16320000, 16783304, 16789092, 16789813, 16791642, 16791939, 16797318, 16803153, 16813361, 16814265, 16816653, 16821270, 16827298, 16834920, 16843319, 16845288, 16860697, 16876361, 16879248, 16893989, 16896138, 16908635, 16914068, 16917984, 16935173, 16950028, 16978246, 16984162, 16998674, 17011240, 17040171, 17062224, 17072470, 17076833, 17096837, 17106514, 17118472, 17180848, 17188008, 17190985, 17242129, 17302862, 17306393, 17309895, 17324073, 17367691, 17425416, 17438304, 17451036, 17461384, 17487104, 17515056, 17539089, 17569954, 17575296, 17581330, 17629860, 17728066, 17828689, 17839171, 17857056, 17865800, 17875156, 17913092, 17948832, 17965762, 17973414, 18023569, 18058244, 18091146, 18104853, 18123137, 18129666, 18221156, 18367176, 18401297, 18415674, 18487680, 18490632, 18685957, 18885260, 18886896, 18926176, 18941979, 18944312, 18964547, 19039753, 19121154, 19137621, 19192832, 19268482, 19343364, 19401238, 19425360, 19476994, 19480968, 19943449, 19989092, 20022312, 20186500, 20219910, 20328464, 20448464, 20461569, 20465184, 20973226, 20996280, 21016587, 21042288, 21053793, 21121545, 21140516, 21171968, 21235758, 21246530, 21512532, 21528966, 21660289, 21860416, 21901316, 22026416, 22044686, 22086560, 22155525, 22283352, 22446097, 22544549, 22761472, 22815776, 23077013, 23102785, 23205956, 23225600, 23300224, 23335684, 23600136, 23658570, 23889024, 24117347, 24265220, 25034754, 25185456, 25186362, 25192970, 25206988, 25236037, 25330260, 25437348, 25464906, 25496076, 25694610, 25701152, 25762112, 25853987, 26217824, 26222652, 26329153, 26423297, 26494994, 26772993, 26814480, 27001924, 27267363, 27284548, 27330336, 27397648, 27476001, 27525688, 27820808, 27934726, 29360820, 29361545, 29442256, 29634577, 29754560, 30418947, 30447620, 31522823, 31592584, 32514128, 33030184, 31825952, 33561060, 33564624, 33568022, 33571545, 33572911, 33576716, 33583472, 33590041, 33594501, 33596046, 33613089, 33623280, 33624267, 33630746, 33639970, 33677712, 33687394, 33695891, 33709076, 33710172, 33718505, 33728564, 33734982, 33756040, 33757520, 33777153, 33821723, 33822983, 33824336, 33826216, 33861794, 33876033, 33884809, 33899587, 33919424, 33956456, 34082442, 34091037, 34112566, 34120488, 34141696, 34146633, 34161058, 34161944, 34188416, 34212548, 34230820, 34276644, 34343840, 34418784, 34473009, 34496642, 34606362, 34632321, 34640081, 34644043, 34669116, 34673473, 34695300, 34735288, 34739715, 34841616, 34867604, 34876452, 34882118, 34996568, 35046408, 35137571, 35217473, 35280000, 35303425, 35394566, 35422560, 35457538, 35656805, 35666072, 35692721, 35719948, 35735120, 35783239, 35787034, 35864728, 35934880, 35948872, 36061569, 36078660, 36200518, 36214080, 36225297, 36290596, 36464648, 36706325, 36708745, 36767490, 36834176, 36856352, 36966540, 37224626, 37617729, 37749234, 37804041, 37819468, 37849378, 37880971, 37888900, 37925392, 38011670, 38014273, 38043725, 38110736, 38291602, 38306200, 38342705, 38379526, 38818068, 38855232, 38872328, 38879393, 39012354, 39098624, 39129218, 39323692, 39324752, 39856800, 40009765, 40370821, 40517672, 40567104, 40972800, 41176064, 41949738, 41964930, 42033201, 42043411, 42074901, 42087688, 42107466, 42221874, 42238101, 42299400, 42337924, 42471664, 42492736, 42549765, 42762506, 42958849, 43008396, 43061274, 43393058, 43827712, 44048500, 44077123, 44117008, 44353568, 44443649, 44701698, 45090084, 45621776, 46203942, 46252056, 46336513, 46408384, 46441473, 46475268, 46661925, 47192130, 47321220, 47382568, 48251074, 49545225, 50349258, 50373155, 50430260, 50474024, 50486016, 50667713, 50675846, 50728988, 50759683, 50858098, 50868612, 50889664, 51127810, 51139073, 51415068, 51445976, 51490818, 51775008, 51953924, 52445454, 52572226, 52626592, 52709393, 52985987, 52986904, 53813256, 54002185, 54531218, 54535685, 54624900, 54690128, 54812936, 55060752, 56623920, 56692772, 56899584, 58754272, 58756864, 58853413, 59250700, 59310339, 59785858, 59901008, 60097280, 60823936, 61411344, 62935105, 63594496, 25232514
};
bitset<1005> st[M], f;
long long s[1000005];
inline PII Work3() {
    int tot = 0;

    for (int i = 0; i < n; i ++)
        for (int j = i; j < n; j ++)
            s[ ++ tot] = D[i] | D[j];

    sort(s + 1, s + tot + 1);

    for (int i = 2; i <= tot; i ++) {
        if (s[i] == s[i - 1])
            printf("!%lld %lld\n", s[i], s[i - 1]);

        assert(s[i] != s[i - 1]);
    }

    int m = 26;
    vector<int> p[M];

    for (int i = 0; i < n; i ++)
        for (int j = 0; j < m; j ++)
            if (D[i] >> j & 1)
                st[j].set(i), p[j].push_back(i + 1);

    for (int i = 0; i < m; i ++)
        send(p[i]);

    vector<int> r = wait();

    for (int i = 0; i < n; i ++)
        f.set(i);

    for (int i = 0; i < m; i ++)
        if (!r[i])
            f &= ~st[i];

    for (int i = 0; i < n; i ++)
        for (int j = i; j < n; j ++)
            if (f[i] && f[j]) {
                int flag = 1;

                for (int k = 0; k < m; k ++)
                    if (r[k] && !st[k][i] && !st[k][j]) {
                        flag = 0;
                        break;
                    }

                if (flag)
                    return make_pair(i + 1, j + 1);
            }

    return make_pair(-1, -1);
}

PII scout(int R, int H) {
    if (R == 10)
        return Work0();
    else if (H == 20)
        return Work1();
    else if (H == 2)
        return Work2();
    else
        return Work3();
}

该代码通过针对性策略适配不同子任务，在资源限制内高效完成位置探测，尤其 Work3 策略仅需 26 个机器人即可满足子任务 4 的满分要求，是编码压缩与交互逻辑的典型应用。