问题分析

本题是一道关于字符串处理的综合性问题，核心任务是解决多个查询，每个查询需要统计满足特定条件的字符串子串数量。通过分析代码可知，问题涉及后缀数组（SA）、回文串判定（Manacher算法）和树状数组（BIT）等多种字符串与数据结构技术。

算法思路

1. 核心问题拆解

每个查询要求计算满足条件的子串数量，具体可分解为两部分：

• 统计满足 Suf[i] < Pre[i+2l] 的子串数量（Suf[i] 表示从位置 i 到结尾的后缀，Pre[i] 表示从开头到位置 i 的前缀反转）
• 减去同时满足回文条件 s[i,i+2l) 是回文且 Suf[i+2l] < Pre[i] 的子串数量

2. 后缀数组（SA）的应用

使用SAIS算法构建后缀数组，用于高效比较字符串的后缀和前缀：

• 构造拼接字符串 str = s + 'a'-1 + reversed(s) + 'a'-2，其中 reversed(s) 是原字符串的反转
• 通过SAIS算法计算该拼接字符串的后缀数组 sa 和排名数组 rank，其中 rank[i] 表示位置 i 处后缀的排名
• 利用排名数组可在 $O(1)$ 时间内比较任意两个后缀的大小关系

3. 第一部分计算（First::solve）

统计满足 Suf[i] < Pre[i+2l] 的子串数量：

• 将问题转化为比较 rank[i] 与 rank[2n+1-t] 的大小关系
• 对每个查询构造两个事件（开始和结束），记录需要比较的排名和位置
• 使用两个树状数组（bit[0] 和 bit[1]）分别处理偶数和奇数位置的更新与查询
• 按位置顺序处理事件，通过树状数组的区间查询功能统计满足条件的数量，时间复杂度为 $O((n+q)\log n)$

4. 回文串判定（Manacher算法）

使用Manacher算法高效计算所有回文子串：

• 构造扩展字符串（插入特殊字符），统一处理奇数和偶数长度的回文串
• 计算 maxLen[i] 数组，表示以位置 i 为中心的最长回文串半径
• 转化得到 R[j] 数组，记录以原字符串位置 j 为中心的最长回文串半径

5. 第二部分计算（Second::solve）

统计需要减去的特殊回文子串数量：

• 筛选满足条件的回文子串，记录其有效范围 [l, r]
• 对每个查询构造两个事件（开始和结束），表示需要统计的区间
• 使用树状数组记录回文子串的范围，按位置顺序处理更新和查询
• 通过树状数组的前缀和查询统计有效回文子串数量，时间复杂度为 $O((n+q)\log n)$

关键技术细节

1. SAIS算法：线性时间复杂度的后缀数组构造算法，核心是通过分类L型（L）和S型（S）字符，递归处理LMS（Left-Most S-type）子串，实现高效排序。

2. Manacher算法：线性时间复杂度的回文串查找算法，通过利用已知回文串的对称性减少重复比较，核心公式为：

   $$\text{maxLen}[i] = \min(\text{maxLen}[l + r - 1 - i], r - i - 1) \quad (\text{当} \, i < r \, \text{时}) $$

   其中 l 和 r 表示当前已知的最右回文串的左右边界。

3. 树状数组（BIT）：用于高效的区间更新和前缀和查询，支持两种核心操作：

   • 单点更新：$O(\log n)$ 时间内更新某个位置的值
   • 前缀和查询：$O(\log n)$ 时间内计算某个位置的前缀和

整体复杂度分析

• 后缀数组构造：$O(n)$（SAIS算法）
• Manacher算法：$O(n)$
• 第一部分查询处理：$O((n+q)\log n)$
• 第二部分查询处理：$O((n+q)\log n)$
• 总时间复杂度：$O(n + q\log n)$，可处理 $n \leq 10^5$ 和 $q \leq 10^5$ 的输入规模

最终答案计算

每个查询的结果为第一部分统计值减去第二部分统计值，即：

$$\text{ans}[i] = \text{count}_1[i] - \text{count}_2[i] $$

其中 $\text{count}_1[i]$ 是满足 Suf[i] < Pre[i+2l] 的数量，$\text{count}_2[i]$ 是需要减去的特殊回文子串数量。