问题分析

本题是一道基于完全二叉树结构的路径优化问题，核心涉及对二叉树中路径成本的计算与更新。通过分析代码可知，问题需要处理初始状态下的路径总成本，以及通过$m$次修改操作对部分路径成本进行优化后的总最小成本。

算法思路

1. 数据结构与预处理

• 采用完全二叉树结构，节点总数为$N = 2^n$，其中$n$为二叉树的深度相关参数
• 使用sum数组存储初始路径成本的累加值
• 使用二维数组f[i][j]存储状态信息，其中$f[i][j]$表示从节点$i$到其$2^j$级祖先的最小路径成本

2. 初始成本计算

• 对于每个节点$i$（从$2$到$N-1$），计算其初始路径成本：$$\text{sum}[i] = (\text{a}[i] \ll (n - \lg(i))) - \text{a}[i] $$其中$\ll$表示左移操作（等价于乘以$2$的幂），$\lg(i)$表示$i$的二进制对数（即最高位$1$的位置）
• 向上累加计算父节点的sum值：$\text{sum}[i >> 1] += \text{sum}[i]$
• 初始总路径成本为所有节点sum值的累加：$\text{ans} = \sum_{i=2}^{N} \text{sum}[i]$

3. 路径优化处理

• 对于$m$次修改操作，每次操作给定路径起点$v$、终点$u$和初始权重$w$
• 沿着路径从$u$向上遍历至$v$，更新$f[u][t]$（其中$t = \lg(v)$）为当前路径成本$w$的最小值：$$f[u][t] = \min(f[u][t], w)$$ 同时更新路径成本：$w += \text{a}[u]$，并将$u$移动至其父节点$u >> 1$

4. 状态转移与结果计算

• 对于每个节点$i$（从$2$到$N-1$），计算其对应的层级$t = \lg(i)$
• 通过动态规划优化路径成本：
  • 对于$j$从$1$到$t-1$：$f[i][j] = \min(f[i][j], f[i][j-1] + \text{a}[i >> (t-j)])$
  • 对于$j$从$t-1$到$1$，$k$从$j-1$到$0$：$f[i][k] = \min(f[i][k], f[i][j] + f[i >> (t-j)][k])$
• 计算优化后的路径成本贡献： 对于有效状态（$f[i][j] < \inf$），累加贡献值：$$\text{ans} += (f[i][j] \ll (n - j - 1)) + \text{sum}[x \oplus 1] $$其中$x$为当前节点经过$j$次右移后的节点

5. 最终结果

• 输出$\text{ans} \mod 998244353$作为最终答案

关键复杂度分析

• 预处理阶段：$O(N)$，主要用于计算初始sum数组
• 修改操作处理：$O(m \cdot n)$，每个修改操作最多遍历$n$个节点（树的高度）
• 动态规划优化：$O(N \cdot n^2)$，每个节点需要处理$n$级状态转移
• 整体时间复杂度：$O(N \cdot n^2 + m \cdot n)$，其中$N = 2^n$

该算法通过利用完全二叉树的层级结构和动态规划思想，高效地计算了优化后的最小路径总成本，适合处理较大规模的输入数据。