问题分析

本题是一道树上路径计数与动态规划结合的综合题，核心是统计满足特定条件的树上路径数量，需融合LCA（最近公共祖先）、DFS序、线段树和动态规划等技术，处理树结构与额外边的复杂交互。

算法思路

1. 树的预处理

• 通过DFS遍历，计算每个节点的入时间戳in[u]和出时间戳out[u]，构建树的DFS序，用于后续子树范围判定。
• 用二进制提升法预处理LCA结构，使任意两点的LCA查询时间复杂度降至$O(\log n)$。
• 同步计算节点深度dep[u]和祖先数组fa[u][i]，其中fa[u][i]表示节点u向上$2^i$层的祖先。

2. 边的分类与处理

将所有边（共m条）分为两类，分别处理其对结果的贡献：

• 树内边：两点在同一子树内（满足in[eu[i]] <= in[ev[i]] && out[ev[i]] <= out[eu[i]]）。
  • 更新siz1和siz2数组，记录子树内边的数量与额外贡献。
  • 通过get_anc函数找到特定祖先节点，调整相关统计值。
• 横跨边：连接不同子树的边。
  • 先通过LCA找到两点的最近公共祖先p。
  • 在oper[p]中记录区间更新操作，后续通过线段树批量处理。

3. 线段树的核心作用

线段树用于高效维护区间乘积信息，支持三种核心操作：

• 区间乘法更新：对指定区间[L, R]的所有元素乘以某个值d。
• 单点更新：直接修改某个位置的元素值。
• 区间查询：计算指定区间[L, R]的元素和，用于快速获取子树范围内的路径贡献。

线段树的每个节点存储两个值：s[id]（区间和）和laz[id]（乘法懒标记），通过懒标记机制减少重复更新，确保每次操作的时间复杂度为$O(\log n)$。

4. 动态规划的状态设计与转移

在dfs2中定义四个状态，通过子树信息递推计算路径数量：

• $f0$：不包含当前节点的合法路径数。
• $f1$：包含当前节点的单条合法路径数。
• $f2$：包含当前节点的两条合法路径数。
• $f3$：包含当前节点且满足题目特定条件的路径数（与输入节点ipt相关）。

状态转移核心逻辑：

1. 初始化当前节点的四个状态值。
2. 遍历每个子节点，结合线段树查询的子树贡献f，更新四个状态：
   • $g0 = f0 \times pw[siz1[v]] \mod MOD$（继承不包含当前节点的路径，乘以子树的路径基数）。
   • $g1 = (f1 \times pw[siz1[v]] + f0 \times f) \mod MOD$（原有单路径继承 + 新增以当前节点为起点的路径）。
   • $g2 = (f2 \times pw[siz1[v]] + f1 \times f) \mod MOD$（原有双路径继承 + 单路径与新路径组合）。
   • $g3 = ((f2 + f3) \times f + f3 \times pw[siz1[v]]) \mod MOD$（复杂路径组合，包含特定条件路径）。
3. 将更新后的状态g0~g3赋值回f0~f3，继续处理下一个子节点。

5. 结果计算与调整

• 遍历过程中，结合oper[u]中记录的操作，通过线段树调整区间贡献，并累加符合条件的路径数到ans。
• 最终对ans进行修正：ans = (-ans % MOD + MOD) % MOD，确保结果在$[0, MOD)$范围内（$MOD = 10^9 + 7$）。

关键公式与复杂度

1. 快速幂公式：计算$a^b \mod MOD$，用于高效获取幂次结果。

   ll ksm(ll a, int b) {
       ll r = 1;
       while (b) {
           if (b & 1) r = r * a % MOD;
           a = a * a % MOD;
           b >>= 1;
       }
       return r;
   }
   

   时间复杂度：$O(\log b)$。

2. 逆元计算：题目中inv2 = (MOD + 1) / 2，利用费马小定理，$inv2 = 2^{MOD-2} \mod MOD$，用于偶数相关的除法取模。

3. 整体复杂度：

   • 预处理阶段：$O(n \log n)$（DFS序 + LCA预处理）。
   • 边处理阶段：$O(m \log n)$（每条边的LCA查询 + 操作记录）。
   • 动态规划阶段：$O(n \log n)$（每个节点的线段树操作）。
   • 总时间复杂度：$O((n + m) \log n)$，可处理$n \leq 5 \times 10^5$的规模。

代码核心模块总结