问题分析

本题是一道基于动态规划（DP）的状态转移问题，核心是处理具有时间限制的"空位填补"约束。通过分析代码可知，问题需要计算在$n+m$个回合中，满足特定空位填补规则的合法序列数量，其中空位必须在产生后的$K$个回合内被填补。

算法思路

1. 状态定义

使用二维DP数组dp[t][j]表示状态，其中：

• $t$ 是当前回合的奇偶标记（用于空间优化，交替使用两个状态数组）
• $j$ 是一个$K$位二进制掩码（mask），第$i$位为$1$表示存在一个空位需要在接下来的$i+1$个回合内被填补

掩码的意义：例如当$K=3$时，掩码101表示：

• 第$0$位为$1$：有一个空位需在$1$回合内填补
• 第$2$位为$1$：有一个空位需在$3$回合内填补

2. 状态转移

对于每个回合$i$（从$n+1$到$n+m$），根据当前掩码$j$的最高位是否为$1$分两种情况处理：

（1）最高位为$0$（!((j >> K - 1) & 1)）

此时没有即将过期的空位，状态转移包含两部分：

• 填补已有空位：选择填补掩码中任意一个空位（对应掩码中的$1$），转移公式为：

  $$\sum_{k \in \text{set bits of } j} dp[t \oplus 1][(j \ll 1) \oplus (k \& -k)] $$

  其中k & -k用于提取$k$的最低位$1$，实现对单个空位的填补操作。

• 不填补空位，新增空位：直接将掩码左移一位（时间推进），并计算新增空位的贡献：

  $$dp[t \oplus 1][j \ll 1] \times ((i + \text{popcount}(j) \times 2) - 3) $$

  其中$\text{popcount}(j)$是掩码$j$中$1$的个数（当前空位数量）。

  总转移公式：

  $$dp[t][j] = \left( \sum + dp[t \oplus 1][j \ll 1] \times ((i + \text{popcount}(j) \times 2) - 3) \right) \mod \text{mod} $$

（2）最高位为$1$（(j >> K - 1) & 1）

此时存在即将过期的空位（必须在本回合填补），转移公式为：

$$dp[t][j] = dp[t \oplus 1][(j \ll 1) \& \text{mask}] \times (i + \text{popcount}(j) - 3) \mod \text{mod} $$

其中mask = (1 << K) - 1，用于确保左移后仍为$K$位掩码。

3. 初始状态与边界

• 初始状态：dp[0][0] = 1（第$0$回合，无空位时只有$1$种合法状态）
• 空间优化：使用两个$K$位掩码数组交替存储状态（t ^ 1表示上一回合）
• 最终答案：经过$m$个回合后，无空位的状态数量dp[m & 1][0]（m & 1获取最后一个回合的奇偶标记）

关键公式与复杂度

1. 掩码运算：

   • 左移操作：j << 1（时间推进，所有空位的剩余时间减$1$）
   • 掩码截取：(j << 1) & mask（确保结果为$K$位）
   • 空位填补：(j << 1) ^ (k & -k)（清除特定空位）

2. 组合数计算：

   • 新增空位的选择数：(i + popcount(j) × 2) - 3
   • 强制填补的选择数：(i + popcount(j) - 3)

3. 时间复杂度：

   • 每个回合需要处理$2^K$个掩码状态
   • 每个状态的转移需要遍历掩码中$1$的个数（最多$K$个）
   • 总复杂度：$O(m \times 2^K \times K)$，其中$m$是回合数，$K$是最大时间限制（代码中$K \leq 10$，因此$2^K \leq 1024$）