题解说明

问题描述：
给定两个长度为 $n$ 的数组 $a$ 和 $b$，以及若干区间查询 $[l,r]$。要求对每个查询计算区间内的某种统计值（具体为 $\sum (a[i]\cdot b[i])$ 的某种动态更新结果）。代码通过线段树 $+$ 单调栈 $+$ 离线处理实现高效查询。

核心思路：
$1.$ 单调栈预处理：

• 对数组 $a$，计算 $lasa[i]$：表示 $i$ 左侧第一个比 $a[i]$ 大的位置。
• 对数组 $b$，计算 $lasb[i]$：表示 $i$ 左侧第一个比 $b[i]$ 大的位置。
• 这两个数组用于确定在处理到位置 $r$ 时，哪些区间需要更新。

$2.$ 线段树维护信息：

• 每个节点存储四类信息：
  • $S$：区间的最终统计值
  • $XY$：区间内 $a[i]\cdot b[i]$ 的和
  • $X$：区间内 $a[i]$ 的和
  • $Y$：区间内 $b[i]$ 的和
• 通过懒标记 $TAG$ 支持区间赋值和增量更新，保证更新效率。

$3.$ 更新操作：

• 当处理到位置 $r$ 时：
  • 在区间 $[lasa[r]+1, r]$ 内，将 $a[i]$ 统一设为 $a[r]$
  • 在区间 $[lasb[r]+1, r]$ 内，将 $b[i]$ 统一设为 $b[r]$
  • 在区间 $[1, r]$ 内，累加 $a[i]\cdot b[i]$
• 这些操作通过线段树的懒标记实现。

$4.$ 查询处理：

• 将所有查询按右端点 $r$ 分组存储。
• 遍历 $r=1..n$，每次完成上述更新后，回答所有右端点为 $r$ 的查询。
• 查询时直接在线段树上取区间 $[l,r]$ 的 $S$ 值。

算法流程：
$1.$ 输入 $n$ 和数组 $a,b$。
$2.$ 用单调栈分别计算 $lasa$ 和 $lasb$。
$3.$ 输入 $q$ 个查询，按右端点分组存储。
$4.$ 遍历 $r=1..n$：

• 执行三次区间更新（更新 $a$、更新 $b$、累加 $a\cdot b$）。
• 回答所有右端点为 $r$ 的查询。
  $5.$ 输出所有查询结果。

复杂度分析：

• 单调栈预处理：$O(n)$
• 每个位置 $r$ 的更新操作：$O(\log n)$（线段树区间更新）
• 每个查询：$O(\log n)$（线段树区间查询）
• 总复杂度：$O((n+q)\log n)$，在 $n,q \leq 5 \times 10^5$ 时可行。

实现细节与注意点：

• 使用 $unsigned\ long\ long$ 存储结果，避免溢出。
• 懒标记 $TAG$ 设计较复杂，需正确合并和下传。
• 离线处理查询，保证每个查询只需一次线段树查询。
• 单调栈保证 $lasa/lasb$ 的计算为 $O(n)$。

总结：
该算法结合了单调栈和线段树的优势：

• 单调栈快速确定更新区间
• 线段树支持复杂的区间赋值与增量操作
• 离线处理保证查询高效
  整体实现复杂但思路清晰，能在大数据范围内高效回答区间查询。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 类型定义与宏定义
#define ull unsigned long long  // 无符号长整型，用于存储较大的计算结果
#define mp make_pair           // 快速创建pair的宏
#define pb push_back           // 向量尾部插入元素的宏
#define ls (cur<<1)            // 线段树左孩子节点索引（cur*2）
#define rs (cur<<1|1)          // 线段树右孩子节点索引（cur*2+1）
#define mid ((l+r)>>1)         // 区间中点计算（(l+r)/2）

/**
 * 快速读入函数
 * 功能：比cin/fscanf更快地读取整数，适用于大量输入场景
 * 原理：直接读取字符流，过滤非数字字符后转换为整数
 */
inline int read() {
    int x = 0;
    char ch = getchar();       // 从标准输入读入字符

    // 跳过非数字字符
    while (!isdigit(ch))
        ch = getchar();

    // 读取数字字符并转换为整数
    while (isdigit(ch))
        x = x * 10 + (ch ^ 48), ch = getchar();  // (ch^48)等价于(ch-'0')

    return x;
}

/**
 * 输出函数
 * 功能：将无符号长整型数输出到标准输出
 * 处理：将数字转换为字符串后反转（因为计算时是从低位到高位），再输出
 */
void print(ull x) {
    if (x == 0) {
        cout << 0 << endl;
        return;
    }
    string s;
    while (x > 0) {
        s += (x % 10) + '0';  // 取出末位数字并转为字符
        x /= 10;
    }
    reverse(s.begin(), s.end());  // 反转得到正确顺序
    cout << s << endl;
}

// 常量与结构体定义
const int N = 5e5 + 5;  // 最大数据规模（5*10^5 +5，预留空间）

/**
 * 线段树节点结构体
 * 存储区间的统计信息：
 * S：区间的计算结果总和
 * XY：区间内a[i]*b[i]的总和
 * X：区间内a[i]的总和
 * Y：区间内b[i]的总和
 */
struct node {
    ull S, XY, X, Y;
} Tree[N << 2];  // 线段树数组（大小为4*N，满足区间划分需求）

/**
 * 懒标记结构体（延迟更新标记）
 * 用于线段树的区间更新优化，存储需要传递的更新参数：
 * cx：a[i]的固定值（若不为0则表示区间a[i]统一设为cx）
 * cy：b[i]的固定值（若不为0则表示区间b[i]统一设为cy）
 * pxy：a[i]*b[i]的系数
 * px：a[i]的系数
 * py：b[i]的系数
 * p：常数项
 */
struct TAG {
    ull cx, cy, pxy, px, py, p;
} tag[N << 2];  // 懒标记数组

// 全局变量
int a[N], b[N];         // 存储原始数据数组
int lasa[N], lasb[N];   // lasa[i]：i左侧第一个a值大于a[i]的位置；lasb[i]同理
int n, q, T, sta[N];    // n：数据长度；q：查询次数；T：测试用例数；sta：单调栈数组
ull Ans[N];             // 存储查询结果
vector<pair<int, int>> Q[N];  // 离线查询存储：Q[r]存储所有右边界为r的查询（左边界l，查询id）

/**
 * 线段树上传操作
 * 功能：用左右孩子节点的信息更新父节点信息
 */
void pushup(int cur) {
    Tree[cur].S = Tree[ls].S + Tree[rs].S;    // 父节点S = 左孩子S + 右孩子S
    Tree[cur].X = Tree[ls].X + Tree[rs].X;    // 父节点X = 左孩子X + 右孩子X
    Tree[cur].Y = Tree[ls].Y + Tree[rs].Y;    // 父节点Y = 左孩子Y + 右孩子Y
    Tree[cur].XY = Tree[ls].XY + Tree[rs].XY; // 父节点XY = 左孩子XY + 右孩子XY
}

/**
 * 应用懒标记到当前节点
 * @param cur：当前节点索引
 * @param len：当前节点覆盖的区间长度
 * @param t：需要应用的懒标记
 * 功能：根据懒标记更新当前节点的统计信息，并合并到节点自身的懒标记中
 */
void Add(int cur, int len, TAG t) {
    auto &[cx, cy, pxy, px, py, p] = t;              // 解包新标记
    auto &[Cx, Cy, Pxy, Px, Py, P] = tag[cur];       // 解包当前节点已有标记

    // 合并标记：根据当前节点已有标记的状态（是否有固定a/b值）计算新标记的影响
    if (Cx && Cy)  // 已有固定a和b值
        P += Cx * Cy * pxy + Cx * px + Cy * py + p;
    else if (Cx)   // 已有固定a值
        P += Cx * px + p, Py += Cx * pxy + py;
    else if (Cy)   // 已有固定b值
        P += Cy * py + p, Px += Cy * pxy + px;
    else           // 无固定a/b值
        P += p, Px += px, Py += py, Pxy += pxy;

    // 更新固定值（若新标记有固定值则覆盖）
    if (cx) Cx = cx;
    if (cy) Cy = cy;

    // 更新当前节点的统计信息
    auto &[S, XY, X, Y] = Tree[cur];
    S += XY * pxy + X * px + Y * py + len * p;  // 累加新标记对S的影响

    // 根据新标记的固定值更新XY、X、Y
    if (cx && cy)  // 同时固定a和b
        XY = cx * cy * len, X = cx * len, Y = cy * len;
    else if (cx)   // 仅固定a
        XY = cx * Y, X = cx * len;
    else if (cy)   // 仅固定b
        XY = cy * X, Y = cy * len;
}

/**
 * 线段树下传操作
 * @param cur：当前节点索引
 * @param len1：左孩子覆盖的区间长度
 * @param len2：右孩子覆盖的区间长度
 * 功能：将当前节点的懒标记传递给左右孩子，实现延迟更新
 */
void pushdown(int cur, int len1, int len2) {
    // 若当前节点有标记，则下传给孩子
    if (tag[cur].cx || tag[cur].cy || tag[cur].pxy || tag[cur].px || tag[cur].py || tag[cur].p) {
        Add(ls, len1, tag[cur]);  // 左孩子应用标记
        Add(rs, len2, tag[cur]);  // 右孩子应用标记
        tag[cur] = {0, 0, 0, 0, 0, 0};  // 清空当前节点标记
    }
}

/**
 * 线段树区间更新
 * @param cur：当前节点索引
 * @param l：当前节点覆盖的区间左边界
 * @param r：当前节点覆盖的区间右边界
 * @param ql：需要更新的区间左边界
 * @param qr：需要更新的区间右边界
 * @param t：更新使用的懒标记
 * 功能：对[ql, qr]区间应用标记t的更新
 */
void update(int cur, int l, int r, int ql, int qr, TAG t) {
    // 若当前区间完全在更新区间内，直接应用标记
    if (ql <= l && r <= qr)
        return Add(cur, r - l + 1, t), void();

    // 下传标记，确保孩子节点信息正确
    pushdown(cur, mid - l + 1, r - mid);

    // 递归更新左/右孩子
    if (qr <= mid)
        update(ls, l, mid, ql, qr, t);
    else if (mid < ql)
        update(rs, mid + 1, r, ql, qr, t);
    else
        update(ls, l, mid, ql, qr, t), update(rs, mid + 1, r, ql, qr, t);

    // 上传更新父节点信息
    pushup(cur);
}

/**
 * 线段树区间查询
 * @param cur：当前节点索引
 * @param l：当前节点覆盖的区间左边界
 * @param r：当前节点覆盖的区间右边界
 * @param ql：查询区间左边界
 * @param qr：查询区间右边界
 * @return：区间[ql, qr]的S值总和
 */
ull query(int cur, int l, int r, int ql, int qr) {
    // 若当前区间完全在查询区间内，直接返回当前节点的S值
    if (ql <= l && r <= qr)
        return Tree[cur].S;

    // 下传标记，确保孩子节点信息正确
    pushdown(cur, mid - l + 1, r - mid);

    // 递归查询左/右孩子并返回总和
    if (qr <= mid)
        return query(ls, l, mid, ql, qr);
    else if (mid < ql)
        return query(rs, mid + 1, r, ql, qr);
    else
        return query(ls, l, mid, ql, qr) + query(rs, mid + 1, r, ql, qr);
}

int main() {
    // 读取输入（测试用例数和数据长度）
    T = read(), n = read();
    int top = 0;  // 单调栈指针

    // 计算lasa数组：用单调栈找每个位置左侧第一个大于a[i]的元素位置
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        a[i] = read();
        // 维护单调栈（栈内元素a值递减）：弹出所有小于当前a[i]的元素
        while (top && a[sta[top]] < a[i])
            top--;
        lasa[i] = sta[top];  // 栈顶即为左侧第一个更大元素的位置（0表示无）
        sta[++top] = i;      // 当前位置入栈
    }

    // 计算lasb数组：同理，找每个位置左侧第一个大于b[i]的元素位置
    top = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        b[i] = read();
        while (top && b[sta[top]] < b[i])
            top--;
        lasb[i] = sta[top];
        sta[++top] = i;
    }

    // 读取查询并离线存储（按右边界r分组）
    q = read();
    for (int i = 1, l, r; i <= q; i++) {
        l = read(), r = read();
        Q[r].pb(mp(l, i));  // 右边界为r的查询存到Q[r]，记录左边界l和查询id
    }

    // 按右边界r递增处理，同时更新线段树并回答查询
    for (int r = 1; r <= n; r++) {
        // 更新区间[lasb[r]+1, r]：设置a[i] = a[r]
        update(1, 1, n, lasa[r] + 1, r, (TAG){a[r], 0, 0, 0, 0, 0});
        // 更新区间[lasb[r]+1, r]：设置b[i] = b[r]
        update(1, 1, n, lasb[r] + 1, r, (TAG){0, b[r], 0, 0, 0, 0});
        // 更新区间[1, r]：累加a[i]*b[i]（pxy=1表示系数为1）
        update(1, 1, n, 1, r, (TAG){0, 0, 1, 0, 0, 0});

        // 回答所有右边界为r的查询
        for (auto [l, id] : Q[r])
            Ans[id] = query(1, 1, n, l, r);
    }

    // 输出所有查询结果
    for (int i = 1; i <= q; i++)
        print(Ans[i]);

    return 0;
}