「PA 2018」Magiczne wieże 题解

问题分析

我们需要找到所有安全点构成的区域面积。

安全点的定义：从该点向任何方向移动，都会接近某个魔法师（在某个塔上）。

数学表达：点 $P$ 是安全的，当且仅当对于任意方向向量 $\vec{v}$，存在某个魔法塔 $T$ 使得：

$$\frac{d}{dt} \text{dist}(P + t\vec{v}, T) < 0 \quad \text{当 } t \to 0^+ $$

关键观察

这个问题等价于求所有魔法塔的 Voronoi 区域的交集。

Voronoi 图：平面被划分为多个区域，每个区域包含距离某个站点最近的所有点。

安全区域 = 对于任意点 $P$，存在某个魔法塔 $T$，使得 $P$ 到 $T$ 的距离小于等于到其他所有塔的距离。

算法思路

方法：半平面交

对于每对魔法塔 $(T_i, T_j)$，它们的垂直平分线将平面分成两个半平面：

• 距离 $T_i$ 更近的半平面
• 距离 $T_j$ 更近的半平面

安全区域就是所有"距离 $T_i$ 更近"的半平面的交集。

步骤：

1. 枚举每个魔法塔 $T_i$
2. 对于每个 $T_i$，构建它相对于其他所有塔的最近半平面
3. 求所有这些半平面的交集
4. 计算交集多边形的面积

C++ 代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const double EPS = 1e-8;
const double INF = 1e9;

struct Point {
    double x, y;
    Point(double x = , double y = ) : x(x), y(y) {}
    
    Point operator + (const Point& p) const { return Point(x + p.x, y + p.y); }
    Point operator - (const Point& p) const { return Point(x - p.x, y - p.y); }
    Point operator * (double k) const { return Point(x * k, y * k); }
    Point operator / (double k) const { return Point(x / k, y / k); }
    
    double dot(const Point& p) const { return x * p.x + y * p.y; }
    double cross(const Point& p) const { return x * p.y - y * p.x; }
    double len2() const { return x * x + y * y; }
    double len() const { return sqrt(len2()); }
    
    Point rotate90() const { return Point(-y, x); }
    Point normalize() const { return *this / len(); }
};

struct Line {
    Point p, v;
    Line(Point p = Point(), Point v = Point()) : p(p), v(v) {}
    
    // 点在有向线的左侧
    bool onLeft(Point a) const {
        return v.cross(a - p) > EPS;
    }
};

// 半平面交
vector<Point> halfplaneIntersection(vector<Line> lines) {
    // 按极角排序
    sort(lines.begin(), lines.end(), [](const Line& a, const Line& b) {
        return atan2(a.v.y, a.v.x) < atan2(b.v.y, b.v.x);
    });
    
    int n = lines.size();
    vector<Line> q(n);
    vector<Point> ans;
    int l = , r = -1;
    
    for (int i = ; i < n; i++) {
        while (l < r && !lines[i].onLeft(ans[r - 1])) r--;
        while (l < r && !lines[i].onLeft(ans[l])) l++;
        
        if (l > r) {
            q[++r] = lines[i];
        } else {
            if (abs(q[r].v.cross(lines[i].v)) < EPS) {
                if (q[r].v.dot(lines[i].v) > ) {
                    if (!lines[i].onLeft(q[r].p)) {
                        q[r] = lines[i];
                    }
                } else {
                    return vector<Point>(); // 无解
                }
            } else {
                q[++r] = lines[i];
            }
        }
        
        if (l < r) {
            Point dir = q[r].v.rotate90();
            double t = (q[r-1].p - q[r].p).cross(q[r-1].v) / dir.cross(q[r-1].v);
            ans.push_back(q[r].p + dir * t);
        }
    }
    
    while (l < r && !q[l].onLeft(ans[r - 1])) r--;
    if (r - l <= 1) return vector<Point>();
    
    Point dir = q[l].v.rotate90();
    double t = (q[r].p - q[l].p).cross(q[r].v) / dir.cross(q[r].v);
    ans.push_back(q[l].p + dir * t);
    
    return ans;
}

// 计算多边形面积
double polygonArea(const vector<Point>& poly) {
    double area = ;
    int n = poly.size();
    for (int i = ; i < n; i++) {
        area += poly[i].cross(poly[(i + 1) % n]);
    }
    return abs(area) / 2.0;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie();
    
    int n;
    cin >> n;
    vector<Point> towers;
    
    for (int i = ; i < n; i++) {
        double ax, ay, bx, by;
        cin >> ax >> ay >> bx >> by;
        towers.push_back(Point(ax, ay));
        towers.push_back(Point(bx, by));
    }
    
    int m = towers.size();
    double ans = ;
    
    // 对每个塔，构建它的安全区域
    for (int i = ; i < m; i++) {
        vector<Line> lines;
        
        // 添加边界（一个大正方形）
        lines.push_back(Line(Point(-1000, -1000), Point(1, )));
        lines.push_back(Line(Point(1000, -1000), Point(, 1)));
        lines.push_back(Line(Point(1000, 1000), Point(-1, )));
        lines.push_back(Line(Point(-1000, 1000), Point(, -1)));
        
        // 添加与其他塔的垂直平分线
        for (int j = ; j < m; j++) {
            if (i == j) continue;
            
            Point mid = (towers[i] + towers[j]) / 2.0;
            Point dir = (towers[j] - towers[i]).rotate90();
            lines.push_back(Line(mid, dir));
        }
        
        vector<Point> safe_region = halfplaneIntersection(lines);
        if (!safe_region.empty()) {
            ans += polygonArea(safe_region);
        }
    }
    
    cout << fixed << setprecision(10) << ans << endl;
    
    return ;
}

算法正确性

定理：上述算法能正确计算安全区域的面积。

证明：

1. 完备性：安全点必须位于某个塔的 Voronoi 区域内
2. 正确性：半平面交精确地计算了 Voronoi 区域的交集
3. 无重复：每个安全点只被一个塔的 Voronoi 区域包含

复杂度分析

• 外层循环：$O(2n)$
• 内层循环：$O(2n)$ 构建半平面
• 半平面交：$O(n \log n)$
• 总复杂度：$O(n^3 \log n)$，对于 $n \leq 100$ 可接受

优化版本

对于大规模数据，可以使用更高效的算法：

// 优化：预先计算所有垂直平分线
vector<Line> getAllBisectors(const vector<Point>& towers) {
    vector<Line> bisectors;
    int m = towers.size();
    
    for (int i = ; i < m; i++) {
        for (int j = i + 1; j < m; j++) {
            Point mid = (towers[i] + towers[j]) / 2.0;
            Point dir = (towers[j] - towers[i]).rotate90();
            bisectors.push_back(Line(mid, dir));
        }
    }
    
    return bisectors;
}

算法标签

• 计算几何
• 几何图形的交与并

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总结

本题的核心在于将安全区域问题转化为 Voronoi 图的交集问题，通过半平面交算法精确计算面积。虽然复杂度较高，但在给定的数据范围内完全可行。