题目翻译与题意理解

题意简述

• 有 8 个固定图案（平面图），编号 1 到 8
• 有 ( k ) 种颜色可用
• 要求：
  1. 相邻区域不能同色
  2. 整个图使用的颜色种类数不超过 3
• 求满足条件的着色方案总数

算法标签

图论 - 图的着色问题、平面图处理
组合数学 - 色多项式、组合计数、二项式系数
动态规划 - 色多项式计算、状态转移
数学 - 容斥原理、多项式求值
预处理 - 对固定图案预先计算关键值

解题思路

1. 问题拆解

将原问题分解为两个部分：

• 部分一：求图案在恰好使用 ( r ) 种颜色时的正常着色方案数 ( P(r) )
• 部分二：从 ( k ) 种颜色中选择 ( r ) 种颜色的组合数

最终答案： [ \text{Answer} = \sum_{r=1}^{3} \binom{k}{r} \times P(r) ]

2. 色多项式方法

对于每个图案，计算其色多项式 ( \chi(\lambda) )，该多项式在 ( \lambda = r ) 时的值 ( \chi(r) ) 就是恰好用 ( r ) 种颜色的正常着色方案数 ( P(r) )。

色多项式可以通过删除-合并公式递归计算： [ \chi(G, \lambda) = \chi(G-e, \lambda) - \chi(G/e, \lambda) ] 其中 ( G-e ) 表示删除边 ( e )，( G/e ) 表示收缩边 ( e )。

3. 容斥原理方法

色多项式也可以用容斥原理表示： [ \chi(G, r) = \sum_{S \subseteq E} (-1)^{|S|} r^{c(S)} ] 其中 ( c(S) ) 表示删除边集 ( S ) 后的连通分量数。

4. 预处理关键值

由于图案数量少（只有 8 个）且规模小，可以预先计算每个图案的：

• ( P(1) )：用 1 种颜色的正常着色方案数
• ( P(2) )：用 2 种颜色的正常着色方案数
• ( P(3) )：用 3 种颜色的正常着色方案数

5. 组合计数

对于给定的 ( k )，最终答案为： [ \text{Ans} = \binom{k}{1}P(1) + \binom{k}{2}P(2) + \binom{k}{3}P(3) ] 其中当 ( k < r ) 时，( \binom{k}{r} = 0 )。

关键步骤

1. 建立图模型：从涂色书中提取每个图案的区域邻接关系
2. 计算色多项式：对每个图案计算 ( P(1), P(2), P(3) )
3. 组合计算：根据输入的 ( k ) 值计算最终答案

样例分析

样例 1：( n=2, k=2 )

• 图案 2 的 ( P(1) = 0, P(2) = 0 )
• ( \text{Ans} = \binom{2}{1} \times 0 + \binom{2}{2} \times 0 = 0 )

样例 2：( n=5, k=3 )

• 图案 5 的 ( P(3) = 12 )，其他为 0
• ( \text{Ans} = \binom{3}{3} \times 12 = 12 )

样例 3：( n=7, k=3 )

• 图案 7 的 ( P(3) = 96 )，其他为 0
• ( \text{Ans} = \binom{3}{3} \times 96 = 96 )

总结

本题的核心在于：

1. 理解色多项式的概念和计算方法
2. 掌握组合计数的技巧
3. 利用预处理处理固定图案
4. 将复杂问题分解为可处理的子问题

这种方法将图论着色问题转化为组合数学问题，通过预处理和多项式求值高效解决问题。