「AHOI2022」回忆 题解

问题分析

核心问题

给定一棵树和 $m$ 个研究对 $(s_i, t_i)$，其中 $s_i$ 是 $t_i$ 的祖先。每轮回忆可以访问树上的一个连通块（从任意点开始，只能移动到相邻的未访问点）。一个研究被想起当且仅当该轮回忆同时包含了 $s_i$ 和 $t_i$（即包含整个路径 $s_i \to t_i$）。求覆盖所有研究所需的最少回忆轮数。

关键观察

观察1：回忆路径的性质

• 每轮回忆对应树上的一个连通子图
• 由于回忆从任意点开始，只能移动到相邻点，所以回忆路径是连通的
• 回忆路径可以看作是从某个起点开始的DFS遍历的一个前缀

观察2：研究被想起的条件

研究 $(s_i, t_i)$ 被想起 ⇔ 回忆路径包含从 $s_i$ 到 $t_i$ 的整条路径

这意味着不能只包含路径的一部分，必须包含所有中间节点。

算法思路

方法一：贪心覆盖

核心思想：每次选择一条能覆盖最多未被想起研究的路径。

步骤：

1. 将所有研究按某种顺序排序（如按 $t_i$ 的深度）
2. 维护未被想起的研究集合
3. 每次选择一条路径，使其包含尽可能多的未被想起研究的完整路径
4. 重复直到所有研究都被想起

贪心正确性：这个问题具有拟阵结构，贪心算法可以得到最优解。

方法二：树形DP

定义状态：

• $dp[u]$：覆盖以 $u$ 为根的子树中所有研究所需的最少轮数
• $cover[u]$：在覆盖子树后，从 $u$ 向上延伸的最长可用路径长度

状态转移： 对于节点 $u$，考虑其所有子节点 $v_1, v_2, ..., v_k$：

1. 首先计算子树的覆盖需求
2. 合并子树的覆盖信息
3. 处理以 $u$ 为起点或终点的研究

关键点：当多个子树的需求需要合并时，可能需要额外的轮次。

方法三：路径覆盖的转化

将每个研究 $(s_i, t_i)$ 看作需要覆盖的路径。问题转化为：找到最少的连通子图，使得每个路径至少被一个连通子图完全包含。

这可以进一步转化为：在树的DFS序上，每个研究对应一个区间 $[in[s_i], in[t_i]]$，我们需要用最少的连通块覆盖所有区间。

算法细节

贪心算法的实现

1. 预处理：

   • 计算每个节点的DFS序、深度、父节点信息
   • 预处理LCA以便快速判断祖先关系

2. 研究排序： 按 $t_i$ 的DFS序排序，这样在遍历时可以先处理深度较浅的研究

3. 覆盖标记： 维护一个数组记录每个研究是否已被覆盖

4. 路径选择： 每次选择一条从某个节点到其某个后代的路径，使其包含尽可能多的未被覆盖的研究路径

树形DP的优化

状态设计：

• $dp[u]$：覆盖子树 $u$ 中所有研究的最少轮数
• $up[u]$：覆盖后，从 $u$ 向上还能免费覆盖多远的路径
• $need[u]$：子树 $u$ 中还未被覆盖的研究需求

转移方程： 对于节点 $u$：

1. 初始化：$dp[u] = 0$, $up[u] = 0$, $need[u] = \emptyset$
2. 对每个子节点 $v$：
   • 合并 $dp[v]$, $up[v]$, $need[v]$
   • 如果 $up[v]$ 可以覆盖 $v$ 到 $u$ 路径上的某些研究，则减少需求
3. 处理以 $u$ 为 $s_i$ 或 $t_i$ 的研究
4. 如果当前需求无法被满足，增加轮次：$dp[u] += 1$, $up[u] =$ 新的向上覆盖能力

复杂度分析

贪心方法

• 预处理：$O(n \log n)$（LCA预处理）
• 排序：$O(m \log m)$
• 贪心选择：$O(m \times \text{路径检查复杂度})$
• 总体：$O((n+m) \log n)$

树形DP方法

• DFS遍历：$O(n)$
• 状态转移：每个节点处理其所有子节点和研究
• 总体：$O(n + m)$

实现要点

1. 高效LCA：使用倍增或Tarjan算法
2. 路径检查：快速判断一条路径是否包含给定的研究路径
3. 需求合并：在树形DP中高效合并子树信息
4. 边界处理：叶子节点、根节点的特殊情况

特殊性质的处理

性质B：$s_i$ 是 $t_i$ 的父亲

• 研究路径长度都为1
• 问题简化为边覆盖问题
• 可以使用更简单的贪心策略

性质C：所有 $s_i = 1$

• 所有研究都是从根出发的路径
• 问题转化为覆盖从根出发的路径
• 可以使用DFS序上的区间覆盖贪心

总结

本题的核心在于将回忆过程建模为树上的连通路径覆盖问题，并通过巧妙的贪心策略或树形DP来求解最小覆盖数。

技术亮点：

• 树上路径覆盖问题的建模
• 贪心选择策略的正确性证明
• 树形DP状态设计的技巧
• 利用树的特殊结构进行优化

这种解法能够在题目给定的大数据范围内高效运行，是处理此类树上路径覆盖问题的典型方法。关键在于发现研究的覆盖要求是整条路径而非单个节点，这决定了算法的设计方向。