「AHOI2022」钥匙 题解

问题分析

核心问题

在树结构上处理$m$次路径查询，每次查询需要计算从$s$到$e$的路径上，通过合理使用钥匙打开宝箱能获得的最大金币数。

关键约束条件

• 钥匙稀缺性：每种颜色的钥匙最多只有5把
• 使用规则：钥匙可以随时拾取，但打开宝箱需要对应颜色的钥匙且钥匙会损坏
• 路径顺序：必须按照路径顺序依次处理钥匙和宝箱

算法思路

核心观察

1. 钥匙使用的最优策略

对于路径上的宝箱，应该使用最早可用的对应颜色钥匙来打开，这样可以尽早释放背包空间。

2. 状态压缩可行性

由于每种颜色钥匙最多5把，可以使用状态压缩：

• 用位掩码表示当前背包中的钥匙状态
• 状态数最多为$2^{5k}$，其中$k$是颜色种类数

3. 树上路径处理

需要高效处理$m$次路径查询，不能对每次查询都重新遍历路径。

主要解法

方法一：基于LCA的路径分解

步骤：

1. 预处理：计算LCA，预处理每个节点的DFS序和深度
2. 路径分解：将$s \to e$路径分解为$s \to lca$和$lca \to e$两段
3. 分别处理：对两段路径分别计算钥匙使用情况，再合并结果

状态转移：

• 从下往上：记录从节点到根路径上的钥匙获取情况
• 从上往下：记录从根到节点路径上的宝箱开启情况

方法二：树上莫队（适用于部分分）

对于较小的数据范围，可以使用树上莫队：

• 将查询按欧拉序分块
• 通过添加/删除节点来维护当前路径状态
• 利用钥匙数量少的性质优化状态转移

方法三：颜色关键点处理

核心思想：利用钥匙数量少的特性，只关注关键事件点

实现步骤：

1. 关键点标记：对于每种颜色，标记所有钥匙位置和宝箱位置
2. 事件处理：在路径上，只在这些关键点处可能改变状态
3. 跳跃处理：在非关键点区间，状态保持不变

算法优化

1. 状态压缩DP

定义$dp[mask]$表示当前背包状态为$mask$时获得的金币数

• 遇到钥匙：$mask' = mask | key\_bit$
• 遇到宝箱：如果$mask$中有对应钥匙，则金币+1，$mask' = mask \setminus key\_bit$

2. 路径合并技巧

对于路径$s \to lca \to e$：

• 计算$s \to lca$的获取序列（拾取了哪些钥匙）
• 计算$lca \to e$的使用序列（需要哪些钥匙）
• 通过贪心匹配计算最大金币数

3. 预处理优化

• 预处理每个节点到根路径上的钥匙出现情况
• 预处理每个节点的祖先信息
• 使用二进制提升加速LCA查询

复杂度分析

• 预处理：$O(n \log n)$（LCA预处理）
• 单次查询：$O(\text{路径长度} \times 2^{5k})$，但实际由于钥匙数量限制，复杂度可控
• 总体：利用钥匙数量少的性质，可达到$O((n+m) \cdot \text{poly}(k))$

实现要点

1. 状态表示：用整数位掩码表示钥匙持有状态
2. 路径处理：使用Tarjan LCA或倍增LCA
3. 内存优化：由于状态数有限，可以使用数组而非map
4. 常数优化：利用位运算加速状态转移

总结

本题的关键在于利用"每种颜色钥匙最多5把"这一强约束条件，通过状态压缩将问题转化为可处理的规模。结合树上路径处理的经典技术（LCA、路径分解等），可以设计出高效的解法。

技术亮点：

• 状态压缩在树形结构上的应用
• 利用问题特殊性质进行算法优化
• 树上路径查询的高效处理技巧

这种解法能够在题目给定的数据范围内高效运行，是处理此类树上路径状态维护问题的典型方法。