「ZJOI2022」深搜 题解

题目大意

给定一棵有根树，每个节点有权值。定义 $f(x, y)$ 为从节点 $x$ 出发，使用随机DFS（在每个节点等概率随机选择子节点访问顺序）寻找节点 $y$ 时，访问路径上所有节点权值最小值的期望。

要求计算所有合法点对 $(x, y)$（$y$ 在 $x$ 的子树中）的 $f(x, y)$ 之和，结果对 $998244353$ 取模。

算法思路

核心观察

1. 期望线性性：可以将问题转化为计算每个节点 $u$ 作为路径最小值对答案的贡献。

2. DFS随机性：从 $x$ 到 $y$ 的DFS路径由随机选择决定，需要计算各种路径出现的概率。

3. 树形结构：利用树的递归性质，可以自底向上计算贡献。

关键步骤

1. 问题转化

对于节点 $u$，考虑它在哪些点对 $(x, y)$ 的DFS路径上成为最小值：

• $u$ 必须在 $x$ 到 $y$ 的DFS路径上
• $u$ 必须是该路径上权值最小的节点（如有多个最小值，$u$ 是第一个遇到的）
• 从 $x$ 到 $u$ 的路径上不能有权值比 $u$ 小的节点

2. 概率分析

设从节点 $u$ 开始，在访问某个特定子节点 $v$ 之前不遇到比 $u$ 权值小的节点的概率为 $p(u, v)$。

这个概率的计算需要考虑：

• $u$ 的所有子节点中，哪些子树的最小值比 $u$ 小
• 随机选择访问顺序时，选择 $v$ 分支的概率
• 在其他分支中不遇到更小值的概率

3. 状态设计

定义状态 $(sum, prob, min\_val)$ 表示一个子树的三个关键信息：

• $sum$：该子树对所有包含根节点的点对的贡献和
• $prob$：从该子树根节点开始，在DFS过程中不遇到比父节点更小值的概率
• $min\_val$：该子树中的最小权值

4. 状态转移

对于节点 $u$：

1. 叶子节点：直接返回 $(a[u], 1, a[u])$

2. 内部节点：

   • 收集所有子节点的状态信息
   • 按子树最小值排序，便于概率计算
   • 计算 $u$ 自身作为最小值的贡献
   • 合并子树的贡献，考虑访问顺序的概率

5. 概率计算技巧

• 前缀/后缀概率积：预处理概率乘积，优化计算
• 模逆元：使用费马小定理处理除法取模
• 分类讨论：根据子树最小值与当前节点权值的关系，采用不同的计算方法

算法流程

1. 预处理：读入数据，建立树的邻接表表示

2. DFS遍历：从根节点开始，后序遍历整棵树

   • 对每个节点，收集子节点信息
   • 按子树最小值排序
   • 计算当前节点对答案的贡献
   • 返回给父节点的状态信息

3. 贡献统计：在DFS过程中累加每个节点的贡献到最终答案

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(\sum n \log n)$，主要来自对子节点按最小值排序
• 空间复杂度：$O(\sum n)$，存储树结构和临时数组

实现细节

1. 模运算：所有运算在模 $998244353$ 下进行，使用预先计算的逆元

2. 边界处理：

   • 单节点树的特殊情况
   • 权值相等时的处理（第一个遇到的作为最小值）

3. 优化技巧：

   • 输入输出优化
   • 避免重复计算
   • 合理使用数据结构

总结

本题是一道结合了树形结构、概率期望和动态规划的综合性题目，需要深入理解DFS的随机过程，并通过巧妙的概率分析和状态设计来解决问题。核心在于将复杂的期望计算分解为每个节点的独立贡献，利用树的递归性质自底向上求解。

该解法能够在题目限制内高效处理最大规模数据，是解决此类概率期望树问题的典型方法。