题目分析

本题是一个结合图论与时间调度的最短路径问题。核心挑战在于：

1. 小偷需要从节点1到达节点N，每条边的通行时间为1分钟
2. 存在K个守卫，每个守卫在固定路径上循环移动
3. 小偷的路径必须时刻避开守卫所在的节点和正在经过的边
4. 需找到最短时间或判断无解

关键约束：

• 守卫路径不相交
• 起点(1)和终点(N)不在任何守卫路径上
• 守卫移动是周期性的（循环其路径）

核心思路

1. 建模守卫的时空占据情况

每个守卫i的周期为T_i = ℓ_i（路径长度），在t分钟时：

• 位置在节点v_{(t mod T_i)+1}
• 正在经过边(v_{(t mod T_i)+1}, v_{(t+1 mod T_i)+1})

需要预先计算：

• 每个节点被守卫占据的时间集合
• 每条边被守卫经过的时间集合

2. 时间依赖的最短路径

采用BFS变种求解，状态为(当前节点, 当前时间)，记录到达每个节点的最早时间。

优化点：

• 由于守卫周期特性，可利用取模运算判断时间冲突
• 对每个节点维护最早到达时间，避免重复访问

3. 冲突检测

对于移动方案（t时刻从u到v），需检查：

1. t时刻u是否有守卫
2. t+1时刻v是否有守卫
3. [t, t+1]期间边(u,v)是否被守卫经过

算法步骤

1. 预处理守卫信息：

   • 对每个守卫i，记录其路径节点序列和边序列
   • 对每个节点/边，记录所有守卫占据它的时间模式（周期+偏移）

2. 构建时间依赖图：

   • 原始图的边是否可用取决于时间
   • 同一节点可在不同时间状态下存在差异

3. 改进的Dijkstra算法：

   • 优先队列存储(到达时间, 当前节点)
   • 对每个节点u，若新到达时间t' < 已知最早时间，则处理：
     • 尝试等待（在u停留1分钟，t'+1时刻仍在u）
     • 尝试移动到邻接节点v（检查t'到t'+1期间的冲突）

4. 终止条件：

   • 到达节点N时返回当前时间
   • 队列空仍未到达N则返回impossible

代码实现

import sys
import heapq
from collections import defaultdict

def main():
    input = sys.stdin.read().split()
    ptr = 0
    N, M = int(input[ptr]), int(input[ptr+1])
    ptr += 2
    
    # 建图
    adj = [[] for _ in range(N+1)]  # 1-based
    edges = set()
    for _ in range(M):
        u, v = int(input[ptr]), int(input[ptr+1])
        ptr += 2
        adj[u].append(v)
        adj[v].append(u)
        if u > v:
            u, v = v, u
        edges.add((u, v))
    
    K = int(input[ptr])
    ptr += 1
    
    # 守卫信息: 节点占据和边占据
    node_guards = defaultdict(list)  # node -> list of (period, offset)
    edge_guards = defaultdict(list)  # (u,v) -> list of (period, offset), u < v
    
    for _ in range(K):
        ℓ_i = int(input[ptr])
        ptr += 1
        path = list(map(int, input[ptr:ptr+ℓ_i]))
        ptr += ℓ_i
        T = ℓ_i  # 周期
        
        # 记录节点占据: t时刻在path[(t mod T)]
        for t_offset in range(T):
            node = path[t_offset]
            node_guards[node].append((T, t_offset))
        
        # 记录边占据: t时刻经过path[t mod T] -> path[(t+1) mod T]
        for t_offset in range(T):
            u = path[t_offset]
            v = path[(t_offset + 1) % T]
            if u > v:
                u, v = v, u
            edge_guards[(u, v)].append((T, t_offset))
    
    # Dijkstra: (到达时间, 节点)
    INF = float('inf')
    dist = [INF] * (N + 1)
    dist[1] = 0
    heap = []
    heapq.heappush(heap, (0, 1))
    
    while heap:
        t, u = heapq.heappop(heap)
        if u == N:
            print(t)
            return
        if t > dist[u]:
            continue
        
        # 选项1: 等待1分钟
        new_t = t + 1
        # 检查new_t时刻u是否有守卫
        conflict = False
        for (period, offset) in node_guards.get(u, []):
            if new_t % period == offset:
                conflict = True
                break
        if not conflict and new_t < dist[u]:
            dist[u] = new_t
            heapq.heappush(heap, (new_t, u))
        
        # 选项2: 移动到邻接节点
        for v in adj[u]:
            a, b = u, v
            if a > b:
                a, b = b, a
            # 检查:
            # 1. t时刻u是否有守卫
            ok = True
            for (period, offset) in node_guards.get(u, []):
                if t % period == offset:
                    ok = False
                    break
            if not ok:
                continue
            
            # 2. t+1时刻v是否有守卫
            for (period, offset) in node_guards.get(v, []):
                if (t + 1) % period == offset:
                    ok = False
                    break
            if not ok:
                continue
            
            # 3. [t, t+1]期间边(a,b)是否被守卫经过
            for (period, offset) in edge_guards.get((a, b), []):
                if t % period == offset:
                    ok = False
                    break
            if not ok:
                continue
            
            # 移动可行
            new_t = t + 1
            if new_t < dist[v]:
                dist[v] = new_t
                heapq.heappush(heap, (new_t, v))
    
    # 无法到达
    print("impossible")

if __name__ == "__main__":
    main()

复杂度分析

• 时间复杂度：O((N + M) × L × log N)，其中L是守卫周期的最大公倍数。实际中由于使用了优先队列和最早时间剪枝，效率会更高。
• 空间复杂度：O(N + M + ∑ℓ_i)，用于存储图结构和守卫信息。

关键优化

1. 周期冲突检测：利用模运算判断时间冲突，避免存储所有时间点
2. 优先队列：确保总是处理最早到达的状态
3. 剪枝：对每个节点只保留最早到达时间，减少冗余计算

该算法能够有效处理守卫的周期性移动，并找到小偷的最短路径，或判断无解情况。

解题步骤

1. 问题分析 • 小偷需要从节点 1 到节点 N，移动过程中不能与守卫在同一节点或同一条边上 • 守卫按固定路径周期性移动，周期等于其路径长度 • 需计算最短移动时间，或判断无解
2. 核心思路 • 状态表示：使用(当前节点, 当前时间)表示状态 • BFS 搜索：通过广度优先搜索寻找最短时间，保证首次到达节点 N 的时间为最小值 • 冲突检测：对每个潜在移动，检查是否与守卫的位置或路径冲突
3. 关键实现 • 预处理守卫的节点占用和边占用信息（周期 + 偏移量） • 对每个状态考虑两种选择：等待（停留 1 分钟）或移动到相邻节点（耗时 1 分钟） • 冲突检测通过模运算判断时间是否落在守卫的周期内 代码实现 #include <bits/stdc++.h> using namespace std;

typedef long long ll; const ll INF = 1e18;

// 用于存储守卫的周期和禁止时间 struct GuardInfo { int period; int forbidden; };

// 边的表示（用排序的pair确保无向性） using Edge = pair<int, int>; Edge make_edge(int u, int v) { if (u > v) swap(u, v); return {u, v}; }

int main() { ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0);

int N, M;
cin >> N >> M;

// 邻接表
vector<vector<int>> adj(N + 1);
// 边的守卫信息
map<Edge, vector<GuardInfo>> edge_guards;

for (int i = 0; i < M; ++i) {
    int u, v;
    cin >> u >> v;
    adj[u].push_back(v);
    adj[v].push_back(u);
    Edge e = make_edge(u, v);
    edge_guards[e]; // 初始化空向量
}

// 节点的守卫信息
vector<vector<GuardInfo>> node_guards(N + 1);

int K;
cin >> K;
for (int i = 0; i < K; ++i) {
    int l;
    cin >> l;
    vector<int> path(l);
    for (int j = 0; j < l; ++j) {
        cin >> path[j];
    }

    // 记录节点被守卫占据的时间
    for (int t = 0; t < l; ++t) {
        int u = path[t];
        node_guards[u].push_back({l, t});
    }

    // 记录边被守卫经过的时间（t时刻开始经过边）
    for (int t = 0; t < l; ++t) {
        int u = path[t];
        int v = path[(t + 1) % l];
        Edge e = make_edge(u, v);
        if (edge_guards.count(e)) {
            edge_guards[e].push_back({l, t});
        }
    }
}

// BFS：dist[u]表示到达u的最早时间
vector<ll> dist(N + 1, INF);
dist[1] = 0;
queue<pair<int, ll>> q;
q.push({1, 0});

bool found = false;
while (!q.empty()) {
    auto [u, t] = q.front();
    q.pop();

    // 到达终点
    if (u == N) {
        cout << t << endl;
        found = true;
        break;
    }

    // 已找到更优路径，跳过
    if (t > dist[u]) continue;

    // 选项1：等待1分钟
    ll new_t = t + 1;
    bool conflict = false;
    for (auto [p, f] : node_guards[u]) {
        if ((new_t - f) % p == 0) {
            conflict = true;
            break;
        }
    }
    if (!conflict && new_t < dist[u]) {
        dist[u] = new_t;
        q.push({u, new_t});
    }

    // 选项2：移动到相邻节点
    for (int v : adj[u]) {
        Edge e = make_edge(u, v);
        // 检查边在t时刻是否被占用
        bool edge_conflict = false;
        if (edge_guards.count(e)) {
            for (auto [p, f] : edge_guards[e]) {
                if ((t - f) % p == 0) {
                    edge_conflict = true;
                    break;
                }
            }
        }
        if (edge_conflict) continue;

        // 检查目标节点v在new_t时刻是否被占用
        ll new_t_v = t + 1;
        bool node_conflict = false;
        for (auto [p, f] : node_guards[v]) {
            if ((new_t_v - f) % p == 0) {
                node_conflict = true;
                break;
            }
        }
        if (node_conflict) continue;

        // 可以移动
        if (new_t_v < dist[v]) {
            dist[v] = new_t_v;
            q.push({v, new_t_v});
        }
    }
}

if (!found) {
    cout << "impossible" << endl;
}

return 0;

}