好的，这道题是模意义下广义斐波那契数列找最早为零的位置的问题。

问题转化

我们定义：

F 0

a , F 1

b , F i

( F i − 1 + F i − 2 )   mod   m ( i ≥ 2 ) F 0 ​ =a,F 1 ​ =b,F i ​ =(F i−1 ​ +F i−2 ​ )modm(i≥2) 要求最小的 p p 使得 F p

0 F p ​ =0。

特殊情况分析 如果 a ≡ 0 ( m o d m ) a≡0(modm)，那么 p

0 p=0 就是一个解（因为 F 0

0 F 0 ​ =0）。

如果 a ≢ 0 a  ≡0，我们需要找 p ≥ 1 p≥1 使得 F p

0 F p ​ =0。

关键观察

这个递推是线性的，可以写成矩阵形式：

[ F i F i + 1 ]

[ 0 1 1 1 ] ⋅ [ F i − 1 F i ] [ F i ​

F i+1 ​

​ ]=[ 0 1 ​

1 1 ​ ]⋅[ F i−1 ​

F i ​

​ ] 初始向量为 ( a , b ) T (a,b) T 。

我们要求最小的 p p 使得：

F p ≡ 0 ( m o d m ) F p ​ ≡0(modm) 这等价于在模 m m 下，序列在位置 p p 首次为零。

求解思路

由于 m ≤ 10 5 m≤10 5 ，我们可以利用序列在模 m m 下必然循环的性质。

循环性质

状态 ( F i , F i + 1 ) (F i ​ ,F i+1 ​ ) 最多有 m 2 m 2 种可能，所以序列必然进入循环，且循环节长度 ≤ m 2 ≤m 2 。 但 m 2 m 2 可能很大（1e10），不能直接枚举。

优化方法

Pisano period 思想 对于质数模数，斐波那契零点的出现有理论结果，但这里 m m 是合数且初始值任意 a , b a,b，不能直接套用。

Meet-in-the-middle / 生日悖论 我们找最小的 p

0 p>0 使得 F p ≡ 0 F p ​ ≡0。 我们可以用哈希表记录每个 F i F i ​ 出现的最早位置，当遇到重复状态时停止。

但直接从头开始模拟，最坏情况可能很长（接近 m 2 m 2 ），会超时。

正解框架

实际上，这个问题可以转化为：

如果 gcd ⁡ ( a , m )

g gcd(a,m)=g，那么所有 F i F i ​ 都是 g g 的倍数（在模 m m 意义下）。

令 a ′

a / g ,

b ′

b / g ,

m ′

m / g a ′ =a/g, b ′ =b/g, m ′ =m/g，则问题转化为模 m ′ m ′ 下的同类问题，且 gcd ⁡ ( a ′ , m ′ )

1 gcd(a ′ ,m ′ )=1。

进一步，问题等价于在模 m ′ m ′ 下找最小的 p p 使得：

a ′ ⋅ f p − 1 + b ′ ⋅ f p ≡ 0 ( m o d m ′ ) a ′ ⋅f p−1 ​ +b ′ ⋅f p ​ ≡0(modm ′ ) 其中 f f 是标准斐波那契数列 f 0

0 , f 1

1 f 0 ​ =0,f 1 ​ =1。

实现方法

对于小范围 m ≤ 10 5 m≤10 5 ，一种可行的方法是：

特判 a ≡ 0 a≡0 的情况。

否则，模拟序列直到出现 F p

0 F p ​ =0 或者状态重复。

利用循环节检测，如果发现循环且没遇到 0，输出 -1。

但为了通过大数据，需要更数学的方法：

对 m m 做质因数分解，利用中国剩余定理将问题分解到素数幂模数下求解，最后合并周期。

结论

本题是数论与斐波那契数列模周期的综合题，核心是状态循环与模数分解。 对于 n , m ≤ 10 5 n,m≤10 5 ，若采用直接模拟加循环检测，可能只能通过小数据；要过大数据，需用数学方法减少枚举量。