算法分析与题解

问题分析

题目要求从 $N$ 组字符串中每组选一个，形成长度为 $N$ 的序列，满足相邻两层字符串是连续子串关系（长串去掉一个字符得到短串）。需要计算这样的序列总数。

核心算法：动态规划

这个代码采用了巧妙的 动态规划 + 子串快速判断 的方法：

1. 状态定义

设 f[i][j] 表示以第 $i$ 组第 $j$ 个字符串结尾的合法序列数。

2. 状态转移

对于第 $i$ 组的字符串 s[i][j]（长度 $i$），要判断它能否接在第 $i-1$ 组的字符串后面，只需要检查：

• 删除 s[i][j] 的第一个字符后是否等于某个 s[i-1][k]
• 删除 s[i][j] 的最后一个字符后是否等于某个 s[i-1][k]

这是因为：

• 当长度差为 $1$ 时，短串是长串的连续子串 ⇔ 长串删除一个字符得到短串
• 对于长串 abc，可能的子串只有 ab（删除最后一个字符）或 bc（删除第一个字符）
• 因此只需检查这两种情况

3. 算法步骤

1. 初始化：f[1][i] = 1（第一层的每个字符串单独构成一条路径）
2. 递推：对于第 $i$ 层第 $j$ 个字符串 s[i][j]
   • 计算 S = 删除最后一个字符
   • 计算 T = 删除第一个字符
   • 遍历第 $i-1$ 层的所有字符串 s[i-1][k]
   • 如果 s[i-1][k] == S 或 s[i-1][k] == T，则 f[i][j] += f[i-1][k]
3. 答案：ans = sum(f[N][i]) mod 1e9+7

时间复杂度分析

• 外层循环：$O(N)$
• 内层循环：$O(K^2)$
• 总复杂度：$O(N \cdot K^2)$
• 在 $N=50, K=1500$ 时，$50 \times 1500^2 \approx 1.125 \times 10^8$ 次操作
• 由于内层操作简单（字符串比较），实际可以接受

算法优化

代码的巧妙之处在于：

1. 快速子串判断：无需枚举长串删除每个位置的情况，因为长度差为 $1$ 时，连续子串只能是删除首字符或尾字符得到的结果
2. 避免哈希：直接字符串比较，避免了哈希冲突问题
3. 空间优化：只记录当前层和上一层的 DP 值（虽然代码中保留了所有层）

示例验证

以样例 1 为例：

3 2
a b
ab bd
abc abd

• 第一层：f[1][1]=1, f[1][2]=1
• 第二层：
  • ab：删除尾字符得 a，删除首字符得 b
    • 匹配 a：f[2][1] += f[1][1] = 1
    • 匹配 b：f[2][1] += f[1][2] = 1，总计 2
  • bd：删除尾字符得 b，删除首字符得 d
    • 匹配 b：f[2][2] += f[1][2] = 1
• 第三层：
  • abc：删除尾字符得 ab，删除首字符得 bc
    • 匹配 ab：f[3][1] += f[2][1] = 2
  • abd：删除尾字符得 ab，删除首字符得 bd
    • 匹配 ab：f[3][2] += f[2][1] = 2
    • 匹配 bd：f[3][2] += f[2][2] = 1，总计 3
• 答案：f[3][1] + f[3][2] = 2 + 3 = 5

算法标签

#动态规划 #字符串处理 #组合计数 #子串匹配
#DAG路径计数 #递推优化 #模运算

总结

这道题的解题关键在于：

1. 将问题转化为分层 DAG 的路径计数问题
2. 利用长度差为 1 时子串的特殊性，只需要检查删除首尾字符的情况
3. 使用动态规划从底层向上递推计数
4. 对 $10^9+7$ 取模处理大数

代码简洁高效，充分利用了问题的特殊性质，避免了不必要的计算，是解决此类计数问题的典范。