题解

问题分析

我们需要计算在多种限制条件下，所有选手选择导师的方案数。主要限制包括：

1. 阵营限制：

   • 蓝阵营(Yazid+小R) ≤ C₀
   • 红阵营(Zayid+大R) ≤ C₁

2. 派系限制：

   • 鸭派系(Yazid+Zayid) ≤ D₀
   • R派系(小R+大R) ≤ D₁

3. 额外规则：

   • 同城市必须同阵营
   • 同学校必须同导师
   • k所学校有不喜欢导师的限制

关键算法思路

1. 动态规划状态设计

使用三维DP来跟踪状态：

• h[i][j][k]：考虑前i个有偏好的城市，蓝阵营人数为j，鸭派系人数为k的方案数

2. 分组处理策略

将学校分为三类：

• 无偏好城市：整个城市无偏好，直接背包处理
• 有偏好城市：城市内有学校有偏好，需要细致处理
• 无偏好学校：单独处理

3. 核心DP转移

// 处理有偏好城市
for(int i = 1; i <= c; i++) {
    if(cp[i] && cs[i]) {  // 该城市有偏好学校
        memcpy(h[1], h[0], sizeof(h[0]));
        
        for(int j = 0; j < e[i].size(); j++) {
            int v = e[i][j];
            if(p[v] != -1) {  // 该学校有偏好
                // 根据不喜欢导师的类型进行状态转移
                if(p[v] == 1) h[0][k][l] = 0;  // 不能选小R
                if(p[v] == 3) h[1][k][l] = 0;  // 不能选大R
                
                // 背包转移，考虑选择该学校到不同导师
                if(p[v] && l >= s[v]) 
                    h[0][k][l] = fun(h[0][k][l], h[0][k][l-s[v]]);
                if(p[v] != 2 && l >= s[v])
                    h[1][k][l] = fun(h[1][k][l], h[1][k][l-s[v]]);
            }
        }
        
        // 城市整体选择阵营
        for(int j = c0; j >= 0; j--) {
            for(int k = 300; k >= 0; k--) {
                h[0][j][k] = fun(h[1][j][k], 
                    j >= cs[i] ? h[0][j-cs[i]][k] : 0);
            }
        }
    }
}

4. 数学原理

设：

• f[i]：无偏好城市蓝阵营人数为i的方案数
• g[i]：无偏好学校鸭派系人数为i的方案数
• h[i][j]：有偏好城市处理后，蓝阵营i人、鸭派系j人的方案数

最终答案计算：

for(int i = 0; i <= c0; i++) {
    for(int j = 0; j <= d0; j++) {
        // 计算满足所有限制的区间
        int la = max(0, sm - c1 - i), ra = c0 - i;
        int lb = max(0, sm - d1 - j), rb = d0 - j;
        
        if(la <= ra && lb <= rb) {
            int ta = f[ra] - (la > 0 ? f[la-1] : 0);
            int tb = g[rb] - (lb > 0 ? g[lb-1] : 0);
            ans = (ans + 1LL * ta * tb % P * h[i][j]) % P;
        }
    }
}

算法复杂度

• 时间复杂度：O(c₀ × d₀ × k × 10)，其中k≤30
• 空间复杂度：O(c₀ × d₀)

问题总结

1. 多重约束处理：问题涉及阵营、派系、城市统一、学校统一、个人偏好五重约束，需要设计合理的状态表示

2. 分组背包思想：将有偏好的城市和无偏好的城市分开处理，降低问题复杂度

3. 维度压缩技巧：通过滚动数组将三维DP压缩为二维，优化空间复杂度

4. 组合计数方法：利用容斥原理和前缀和优化，快速计算满足区间约束的方案数

5. 边界条件处理：需要仔细处理各种边界情况，如空城市、无偏好学校等

6. 模运算优化：使用加法和减法代替模运算，提高运算效率

该算法通过巧妙的动态规划和组合数学方法，高效解决了复杂的多重约束计数问题，体现了分组处理和维度压缩在解决复杂计数问题中的重要作用。