1. 题意整理

• 有 $n$ 种牌，大小 $1 \dots n$，每种 $4$ 张，总共 $4n$ 张。
• 初始手牌 $13$ 张（每种牌最多 $4$ 张）。
• 剩下的 $4n - 13$ 张牌随机排列 $P$。
• 定义 $S_i$ = 初始 $13$ 张 + $P$ 的前 $i$ 张牌。
• 权值 $f(P)$ = 最小的 $i$ 使得 $S_i$ 有一个 大小为 14 的子集 是胡的。
• 胡牌条件（14 张牌）：
  1. 一对（对子） + 四个面子（刻子或顺子）
  2. 七个互不相同的对子（七对子）
• 求 $f(P)$ 的期望，模 $998244353$。

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2. 思路分析

2.1 转化为计数问题

设 $m = 4n - 13$ 是剩余牌的数量。

对于每个 $i$（$1 \le i \le m$），我们想知道有多少种排列 $P$ 满足：

• $S_{i}$ 有胡牌子集
• $S_{i-1}$ 没有胡牌子集

那么 $f(P) = i$ 的排列数就是：

$$\text{count}(i) = \{P \mid S_i \text{ 可胡}, S_{i-1} \text{ 不可胡\} } $$

特别地，若 $S_0$（初始手牌）就可胡，那么 $f(P)=0$？不对，$i$ 从 $1$ 开始，因为 $S_0$ 只有 13 张牌，不可能胡（胡要 14 张）。所以 $f(P)$ 最小是 $1$。

实际上 $S_0$ 不可能胡，所以 $f(P)$ 是第一个 $i \ge 1$ 使得 $S_i$ 可胡。

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2.2 期望公式

设 $N = m!$ 总排列数。

期望：

$$E = \frac{1}{N} \sum_{k=1}^m k \cdot \text{count}(k) $$

其中 $\text{count}(k) = {P \mid f(P) = k}$。

更方便的计数方式：

$$\text{count}(k) = A_k - A_{k-1}$$

其中 $A_k ={P \mid S_k \text{ 可胡}}$，且 $A_0 = 0$。

于是：

$$E = \frac{1}{N} \sum_{k=1}^m k (A_k - A_{k-1})$$

化简：

$$E = \frac{1}{N} \left( \sum_{k=1}^m k A_k - \sum_{k=0}^{m-1} (k+1) A_k \right) $$$$= \frac{1}{N} \left( m A_m - \sum_{k=0}^{m-1} A_k \right) $$

因为 $A_m = N$（最后一定可胡），所以：

$$E = m - \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{m-1} A_k$$

其中 $A_0 = 0$。

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2.3 问题转化为求 $A_k$

$A_k$ = 有多少种排列 $P$ 使得 $S_k$ 可胡。

等价于：从 $4n$ 张牌中选出初始 $13$ 张 + $P$ 的前 $k$ 张，这个集合包含一个胡牌的 14 张子集。

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3. 胡牌的判定

两种胡牌方式：

3.1 七对子形式

需要 7 个不同的对子（14 张牌），每个对子是相同大小的两张牌，且 7 个对子的大小互不相同。

条件：有至少 7 种牌，每种牌的张数 $\ge 2$。

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3.2 一般形式（一对 + 四面子）

面子可以是：

• 刻子 $(x,x,x)$
• 顺子 $(x,x+1,x+2)$

对子 $(p,p)$ 与面子不重叠。

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4. 对 $A_k$ 的计数方法

4.1 牌的张数表示

设初始 13 张牌中，大小为 $j$ 的张数为 $c_j$（$0 \le c_j \le 4$）。

在 $P$ 的前 $k$ 张中，大小为 $j$ 的张数为 $t_j$（$0 \le t_j \le 4 - c_j$）。

那么 $S_k$ 中大小为 $j$ 的张数 = $c_j + t_j$。

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4.2 七对子情况

七对子成立条件：$|{j \mid c_j + t_j \ge 2}| \ge 7$。

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4.3 一般型情况

这是麻将标准型，可以用 DP 判断：设 $dp[i][p][a][b]$ 表示考虑完前 $i$ 种牌，已有 $p$ 个面子，上一种牌剩下 $a$ 张，上上种牌剩下 $b$ 张（用于顺子），且已经选好对子与否的状态。

但这里我们不是判断固定手牌，而是计数有多少种 $(t_1,\dots,t_n)$ 使得存在一个 14 张的子集可胡。

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4.4 简化：提前胡牌的条件

$S_k$ 可胡意味着：存在一个大小为 14 的子集 $T \subseteq S_k$ 可胡。

因为 $S_k$ 的牌数 = $13 + k$，要取出 14 张胡牌，那么 $k \ge 1$。

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5. 另一种思路：容斥 + 提前胡牌的最早巡目

我们考虑最早的胡牌时刻 $i$，意味着加入第 $i$ 张牌后才第一次可胡。

那么 $S_{i-1}$ 不可胡，但 $S_i$ 可胡。

设新加入的牌是 $x$（大小和种类确定），那么 $S_i$ 可胡必须用到 $x$（否则 $S_{i-1}$ 就可胡了）。

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5.1 用到新牌 $x$ 的胡牌

有两种情况：

1. 七对子型：新牌 $x$ 和已有的另一张同大小组成对子，并且其他 6 对不涉及 $x$ 大小。
2. 一般型：新牌 $x$ 作为对子的一部分，或者作为面子的组成部分。

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5.2 一般型的细分

设新牌大小为 $w$，$S_{i-1}$ 中 $w$ 的张数为 $c_w + t_w'$（$t_w'$ 是前 $i-1$ 张中抽到的该大小的数量）。

• 如果新牌作为对子：那么 $c_w + t_w' \ge 1$（之前至少有一张同大小），这样新牌和它组成对子。
• 如果新牌作为面子的一部分：
  • 刻子：需要 $c_w + t_w' \ge 2$（之前至少有两张同大小）
  • 顺子：需要 $w-1, w, w+1$ 在 $S_{i-1}$ 中各有至少 1 张（对新牌 $w$ 是中间那张），或者 $w, w+1, w+2$（新牌是最小那张，需要后两种在 $S_{i-1}$ 中各至少 1 张），或者 $w-2, w-1, w$（新牌是最大那张，需要前两种在 $S_{i-1}$ 中各至少 1 张）。

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6. 概率计算框架

我们可以枚举第 $i$ 张牌是什么（大小 $w$），以及前 $i-1$ 张牌的分布情况，计算满足“$S_{i-1}$ 不可胡但加入 $w$ 后可胡”的排列数。

设 $B_{i,w}$ = 排列 $P$ 的数量，使得 $f(P) = i$ 且第 $i$ 张牌大小为 $w$。

那么：

$$\text{count}(i) = \sum_{w=1}^n B_{i,w}$$ $$E = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^m i \cdot \text{count}(i) $$

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6.1 计算 $B_{i,w}$

固定 $w$，设 $q = c_w$ 初始张数。

前 $i-1$ 张中 $w$ 大小的张数 $u$ 满足 $0 \le u \le 4 - q$。

前 $i-1$ 张的分布 $\{u_j\}$ 满足 $\sum u_j = i-1$，且 $u_j \le 4 - c_j$。

我们要计数这些分布使得 $S_{i-1}$ 不可胡，但加入一张 $w$ 后（$u \to u+1$）可胡。

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6.2 七对子情况

加入 $w$ 后七对子成立：之前 $u \ge 1$ 则 $w$ 大小已有至少 1 张，新牌组成第 7 个对子。需要其他 6 种大小 $r$ 满足 $c_r + u_r \ge 2$。

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7. 实现方法（大纲）

由于 $n \le 100$，直接枚举所有分布不可行，但可以用 DP 计数：

1. 预处理初始手牌 $c_1 \dots c_n$。
2. 对于每个 $i$ 从 $1$ 到 $m$，对于每个 $w$，计算 $B_{i,w}$：
   • 用 DP 状态 $(pos, \text{cards\_used}, \text{mask})$ 表示考虑前 $pos$ 种牌，已经用了 $\text{cards\_used}$ 张牌，$\text{mask}$ 表示哪些大小已经满足“有至少 2 张”等条件。
   • 同时要维护“是否已经可胡”的信息，但这里我们要求 $S_{i-1}$ 不可胡，所以 DP 要能区分可胡与不可胡的状态。

实际上，由于状态复杂，竞赛中常用自动机方法：将胡牌条件建成一个有限状态自动机，然后 DP 记录状态。

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8. 最终公式（理论）

我们推导出的简洁公式：

$$E = m - \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{m-1} A_k$$

其中 $A_k$ 是前 $k$ 张牌+初始牌可胡的排列数。

计算 $A_k$：

$$A_k = \sum_{\substack{0 \le t_j \le 4-c_j \\ \sum t_j = k}} \frac{k!}{\prod t_j!} \cdot (m-k)! \cdot [S_k \text{ 可胡}] $$

这里 $\frac{k!}{\prod t_j!}$ 是前 $k$ 张牌按大小分布的排列数，$(m-k)!$ 是剩余牌的排列数。

因此：

$$A_k = (m-k)! \cdot k! \cdot \sum_{\substack{\mathbf{t} \\ \sum t_j = k}} \frac{[S_k \text{ 可胡}]}{\prod t_j!} $$

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9. 模运算

模 $998244353$，需要预处理阶乘和逆元。

设：

$$F(k) = \sum_{\substack{\mathbf{t} \\ \sum t_j = k}} \frac{[S_k \text{ 可胡}]}{\prod t_j!} $$

则：

$$A_k = (m-k)! \cdot k! \cdot F(k)$$ $$E = m - \frac{1}{m!} \sum_{k=0}^{m-1} (m-k)! \cdot k! \cdot F(k) $$

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10. 总结

这道题的难点在于：

1. 麻将胡牌规则的组合表达。
2. 最早胡牌巡目的概率转化。
3. 大规模状态计数需要 DP 优化。

最终我们得到了一个用 $F(k)$ 表示的公式，而 $F(k)$ 可以通过动态规划按牌的大小依次计算，同时检查胡牌可能性。