「BalticOI 2016 Day1」螺旋 题解

1. 题目解析

1.1 问题描述

给定一个 $(2n+1) \times (2n+1)$ 的矩阵，从中心 $(0,0)$ 开始按逆时针螺旋方向填充数字：

数字 $1$ 在中心 $(0,0)$

数字 $2$ 在 $(1,0)$（中心右侧）

继续逆时针螺旋向外填充

对于 $q$ 个矩形区域查询 $(x_1,y_1)$ 到 $(x_2,y_2)$，求区域内所有数字之和模 $10^9+7$ 的结果。

1.2 坐标范围

$-n \leq x_1 \leq x_2 \leq n$

$-n \leq y_1 \leq y_2 \leq n$

$1 \leq q \leq 100$

1.3 数据规模

$n$ 最大可达 $10^9$

需要高效算法，不能直接模拟填充

2. 算法思路

2.1 螺旋矩阵结构分析 分层结构：

第 $0$ 层：中心点，数字 $1$

第 $k$ 层：从 $(2k-1)^2+1$ 到 $(2k+1)^2$，构成边长为 $2k+1$ 的环

每层数字分布有规律的数学模式

关键观察：

螺旋矩阵具有高度的对称性和规律性

可以通过数学公式直接计算任意位置的值

区域和可以通过积分思想计算

2.2 象限分解策略

将矩阵按坐标轴划分为四个象限：

第一象限：$x \geq 0, y \geq 0$

使用 Sol1(x, y) 计算从 $(0,0)$ 到 $(x,y)$ 的区域和

第二象限：$x \leq -1, y \geq 0$

使用 Sol2(-x, y) 计算（坐标取绝对值）

第三象限：$x \leq 0, y \leq -1$

使用 Sol3(-x, -y) 计算

第四象限：$x \geq 1, y \leq 0$

使用 Sol4(x-1, -y) 计算

2.3 多项式求值方法

核心函数 calc(n, v)：

实现多项式求值：$f(n) = \sum_{i=0}^k v[i] \times \binom{n}{i}$

其中系数向量 $v$ 通过数学推导得到

对应螺旋矩阵求和的封闭形式

数学原理：

螺旋矩阵的区域和可以表示为关于坐标的多项式

使用二项式系数进行多项式求值

预计算逆元用于模运算

2.4 二维前缀和容斥

对于矩形区域 $[x_1,x_2] \times [y_1,y_2]$，使用标准容斥：

sum=$f ( x 2 , y 2 ) − f ( x 1 − 1 , y 2 ) − f ( x 2 , y 1 − 1 ) + f ( x 1 − 1 , y 1 − 1 )$

其中 $f(x,y)$ 表示从 $(0,0)$ 到 $(x,y)$ 的区域和函数。

2.5 边界情况处理

坐标轴归属：

$x=0$ 或 $y=0$ 的边界线需要正确划分到相应象限

第四象限与第一象限在 $x$ 轴上的重叠需要特殊处理

对于跨越多个象限的矩形，分别计算各象限贡献后求和

2.6 算法步骤

预处理：计算 $1$ 到 $10$ 的模逆元

查询处理：

根据矩形位置确定涉及的象限

对每个象限分别计算区域和

使用容斥原理组合结果

结果输出：输出模 $10^9+7$ 后的结果

3. 复杂度分析

3.1 时间复杂度

预处理：$O(1)$，仅预计算少量逆元

每次查询：$O(1)$，常数次多项式求值和容斥计算

总复杂度：$O(q)$，完美处理 $q \leq 100$ 的限制

3.2 空间复杂度

$O(1)$，仅存储常数个变量和系数向量

4. 总结

4.1 算法亮点

数学建模：

将几何填充模式转化为多项式求值问题

利用组合数学性质实现高效计算

问题分解：

通过象限分解简化问题复杂度

每个象限有独立的数学规律和求解方法

高效实现：

避免直接模拟填充，支持 $n \leq 10^9$ 的大数据范围

常数时间处理每个查询

4.2 适用场景

这种方法适用于：

具有规律性填充模式的矩阵问题

大规模数据范围的区域求和查询

需要数学推导和公式优化的场景

4.3 核心思想

本题展示了"数学建模+组合计算"的解题范式：

深入分析问题本质和数学规律

建立模型将问题转化为可计算形式

设计算法利用数学性质优化性能

这种思维方式在解决大规模计算问题时具有重要价值。