题目分析

我们要求的是最优翻修方案的不便利值，即： [ \min_{\text{翻修方案}} \sum_{\text{乡村 } i} c_i \cdot (a_i + x_i) \cdot (b_i + y_i) ] 其中 $x_i$ 是从乡村 $i$ 到首都路径上未翻修的公路数，$y_i$ 是未翻修的铁路数。

问题转化

这是一个树形动态规划问题。对于每个城市，我们需要选择翻修公路还是铁路，这个选择会影响所有经过该城市的乡村的不便利值。

树形DP思路

由于树的结构特殊（从乡村到首都的路径唯一，且每个城市恰好有两条入边），我们可以用树形DP来解决。

状态定义

设 $dp[u][i][j]$ 表示在节点 $u$ 的子树中，从 $u$ 到根节点路径上已经有 $i$ 条未翻修公路、$j$ 条未翻修铁路时，该子树的最小总不便利值。

状态转移

对于叶子节点（乡村）： 如果 $u$ 是乡村，其参数为 $(a_u, b_u, c_u)$，则： [ dp[u][i][j] = c_u \cdot (a_u + i) \cdot (b_u + j) ]

对于城市节点： 设城市 $u$ 的公路起点是 $v_1$，铁路起点是 $v_2$。

• 情况1：翻修公路 公路变为已翻修，铁路未翻修： [ \text{cost}_{\text{road}} = dp[v_1][i][j] + dp[v_2][i][j+1] ]

• 情况2：翻修铁路 铁路变为已翻修，公路未翻修： [ \text{cost}_{\text{rail}} = dp[v_1][i+1][j] + dp[v_2][i][j] ]

取最小值： [ dp[u][i][j] = \min(\text{cost}{\text{road}}, \text{cost}{\text{rail}}) ]

算法流程

1. 建立树结构，记录每个城市的公路和铁路起点
2. 从叶子节点（乡村）开始向上DP计算
3. 对于乡村节点，直接计算不便利值
4. 对于城市节点，根据翻修选择计算最小代价
5. 最终答案：$dp[1][0][0]$（根节点没有未翻修道路）

优化策略

由于 $n \leq 20000$，直接开三维数组 $dp[20000][40][40]$ 会超内存。实际实现时可以采用：

• 记忆化搜索：只计算实际会出现的状态
• map存储：用 $\text{map<pair<int,int>, long long>}$ 存储每个节点的状态
• 范围限制：利用题目条件 $a_i, b_i \leq 60$ 和路径长度 $\leq 40$，将 $i,j$ 范围限制在 $0 \sim 100$

时间复杂度

每个节点的状态数最多为 $100 \times 100 = 10000$，总时间复杂度 $O(n \times 10000)$，经过优化后可以通过。

样例验证

以样例1为例：

• 翻修通往城市 $2$ 和城市 $5$ 的铁路，以及其他城市的公路
• 计算得到总不便利值为 $54$
• 与题目输出一致

总结

本题的关键在于：

• 将翻修选择转化为树形DP决策
• 设计包含路径上未翻修道路数量的状态
• 利用树的结构进行自底向上的计算
• 通过状态优化控制复杂度

这种方法可以高效求出最小不便利值，时间复杂度为 $O(n \cdot M^2)$，其中 $M$ 是状态范围（约100）。