题解

在 $(n-1)$ 维空间里给出 $n+1$ 个点，它们一定满足一条线性关系，因此凸包只可能是“两个 $(n-1)$ 维单纯形共用同一个底面”的形状。若把所有点都投影到同一个基准点 $P$，那么以其它 $n$ 个点与 $P$ 的向量作为行向量组成的 $(n-1)\times(n-1)$ 行列式的绝对值，恰好就是这 $n$ 个点构成的单纯形的体积乘以 $(n-1)!$。

令其中任意一个点为“被删除的点”。对每个删除的点，把剩下的 $n$ 个点拿出来，用第一个点作为基准，写出 $n-1$ 个向量并计算行列式（用高斯消元即可）。把所有删除点得到的行列式绝对值加起来，就等于两个单纯形体积和的两倍。最后除以 $2$，并对 $10^9+7$ 取模，即为答案。

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<bitset>
#include<queue>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<set>
#include<map>
#define infile(filename) freopen(filename".in","r",stdin)
#define outfile(filename) freopen(filename".out","w",stdout)
#define usefile(filename) infile(filename),outfile(filename)
using namespace std; typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef __int128 I;
namespace IO {
	const int BUF=1<<20; static char ch[BUF]={},out[BUF]={},*l=ch,*r=ch,*o=out;
#define FASTIO
#ifdef FASTIO
	inline char gc() { return (l==r&&(r=(l=ch)+fread(ch,1,BUF,stdin),l==r))?EOF:*l++; }
#else
	inline char gc() { return getchar(); }
#endif
	inline void flush() { fwrite(out,1,o-out,stdout),o=out; }
	inline void putc(char ch) { if(o==out+BUF) flush(); *o++=ch; }
	struct flusher{~flusher(){flush();}}_;
}; using IO::gc; using IO::putc;
template <typename T> void read(T &a) { static char fushu,ch; a=fushu=0; do ch=gc(); while(ch!='-'&&(ch<48||ch>57)); if(ch=='-') ch=gc(),fushu=1; do a=(a<<1)+(a<<3)+(ch^48),ch=gc(); while(ch>47&&ch<58); if(fushu) a=-a; }
template <typename T,typename ...Args> void read(T &a,Args &...args) { read(a),read(args...); }
template <typename T> void write(T a) { static char que[114]={},*p=que; if(!a) putc(48); if(a<0) putc('-'),a=-a; while(a) *p++=(a%10)^48,a/=10; while(p!=que) putc(*--p); putc(32); }
template <typename T,typename ...Args> void write(T a,Args ...args) { write(a),write(args...); }
template <typename T> void ckmax(T &a,T b) { if(a<b) a=b; }
template <typename T> void ckmin(T &a,T b) { if(b<a) a=b; }
const int N=40; const double eps=1e-6;
int T,n,p[N][N]={}; double a[N][N]={};
double det(int n) {
	int i,j,k; double muler,ans=1;
	for(i=1;i<=n;++i) {
		for(j=i+1,k=i;j<=n;++j)
			if(fabs(a[j][i])>fabs(a[k][i]))
				k=j;
		swap(a[i],a[k]);
		if(fabs(a[i][i])<eps) return 0;
		ans*=a[i][i];
		for(j=i+1;j<=n;++j)
			if(fabs(a[j][i])>eps) {
				muler=a[j][i]/a[i][i];
				for(k=i;k<=n;++k)
					a[j][k]-=a[i][k]*muler;
			}
	}
	return ans;
}
int main()
{
	// usefile("atmo");
	int i,j,k,tot,fir; double ans=0;
	read(T);
	loop : --T;
	read(n);
	for(i=1;i<=n+1;++i)
		for(j=1;j<n;++j)
			read(p[i][j]);
	for(i=1,ans=0;i<=n+1;++i) {
		for(j=1,tot=0;j<=n+1;++j)
			if(i!=j) {
				if(!tot) fir=j;
				for(k=1;k<n;++k)
					a[tot][k]=p[j][k]-p[fir][k];
				++tot;
			}
		ans+=fabs(round(det(n-1)));
	}
	ans/=2.0;
	printf("%lld\n",ll(round(ans))%1000000007ll);
	if(T) goto loop;
	return 0;
}