题目理解

我们在三维空间 $(x,y,z)$ 中，从 $(0,0,0)$ 走到 $(n,m,r)$，移动规则是：

• $x \to x'$ 当且仅当 $x \subseteq x'$（即 $x \ \&\ x' = x$，二进制包含关系）
• 同理 $y \to y'$，$z \to z'$

有些点是障碍，求合法路径数，对 $998244353$ 取模。

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关键观察

1. 二进制包含关系的组合意义

如果 $x \subseteq x'$，那么在二进制下，$x'$ 的 $1$ 的位置包含了 $x$ 的所有 $1$ 的位置。

从 $x$ 到 $x'$ 的路径数，相当于在 $x'$ 比 $x$ 多出的那些 $1$ 位中，按任意顺序依次添加这些 $1$。

设 $\text{popcount}(x) =$ $x$ 的二进制中 $1$ 的个数，
从 $0$ 到 $x$ 的路径数 $=$ 将 $\text{popcount}(x)$ 个 $1$ 按任意顺序添加的方案数
$=$ $\text{popcount}(x)!$ 种（在 $x$ 坐标上）。

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2. 三维独立性与组合数

因为三个坐标的移动是独立的，所以从 $(0,0,0)$ 到 $(x,y,z)$ 的路径数
$=$ $f(\text{popcount}(x), \text{popcount}(y), \text{popcount}(z))$
$=$ 三个坐标各自添加 $1$ 的顺序方案数的乘积，但要考虑不同坐标间的交错顺序。

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算法解析

1. 预处理组合数和 $f$ 数组

for (int i = 0; i < 64; i++) {
    co[i][0] = 1;
    for (int j = 1; j <= i; j++) {
        co[i][j] = (co[i - 1][j] + co[i - 1][j - 1]) % mod;
    }
}

这里 $\text{co}[i][j]$ 是组合数 $C_i^j$。

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f[0][0][0] = 1;
for (int i = 0; i < 64; i++) {
    for (int j = 0; j < 64; j++) {
        for (int k = 0; k < 64; k++) {
            for (int x = 1; x <= i; x++)
                f[i][j][k] = (f[i][j][k] + f[i - x][j][k] * co[i][x]) % mod;
            for (int x = 1; x <= j; x++)
                f[i][j][k] = (f[i][j][k] + f[i][j - x][k] * co[j][x]) % mod;
            for (int x = 1; x <= k; x++)
                f[i][j][k] = (f[i][j][k] + f[i][j][k - x] * co[k][x]) % mod;
        }
    }
}

$f[i][j][k]$ 的含义：
当三个坐标分别有 $i,j,k$ 个 $1$ 需要添加时，交错添加这些 $1$ 的总方案数。

转移解释：

• 第一个循环：在 $x$ 坐标上添加 $x$ 个 $1$，从 $i$ 个位置中选 $x$ 个先添加（组合数 $C_i^x$），剩下的 $i-x$ 个 $1$ 和 $j,k$ 继续交错添加
• 同理处理 $y,z$ 坐标

这实际上是在计算 多重集排列数： $f[i][j][k] = \frac{(i+j+k)!}{i!j!k!}$ 但这里用 $DP$ 是为了避免大数阶乘（因为 $i,j,k \le 63$）。

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2. 容斥原理处理障碍

将终点 $(a,b,c)$ 也当作一个"障碍"加入列表，排序（按三关键字）。

设 $g[i]$ 表示从 $(0,0,0)$ 到第 $i$ 个点 $p[i]$，且不经过任何其他障碍点的路径数。

初始： $g[i] = f[\text{pc}(p[i].x)][\text{pc}(p[i].y)][\text{pc}(p[i].z)]$ 即不考虑障碍时的总路径数。

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然后容斥：

for (int j = 1; j < i; j++) {
    if ((p[j].x & p[i].x) != p[j].x || 
        (p[j].y & p[i].y) != p[j].y ||
        (p[j].z & p[i].z) != p[j].z)
        continue;
    
    g[i] = (g[i] + mod - g[j] * 
        f[pc(p[j].x ^ p[i].x)][pc(p[j].y ^ p[i].y)][pc(p[j].z ^ p[i].z)] % mod) % mod;
}

条件判断：
$(\text{p}[j].x \& \text{p}[i].x) == \text{p}[j].x$ 表示 $\text{p}[j].x \subseteq \text{p}[i].x$，即 $\text{p}[j]$ 在 $\text{p}[i]$ 的路径上。

容斥：
从 $g[i]$ 中减去：先走到 $\text{p}[j]$（不经过其他障碍），再走到 $\text{p}[i]$ 的方案数。

从 $\text{p}[j]$ 到 $\text{p}[i]$ 的路径数 $=$
$f[\text{pc}(\text{p}[i].x \oplus \text{p}[j].x)][\text{pc}(\text{p}[i].y \oplus \text{p}[j].y)][\text{pc}(\text{p}[i].z \oplus \text{p}[j].z)]$

因为 $\text{p}[j] \subseteq \text{p}[i]$，所以异或得到的是需要新增的 $1$ 的个数。

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3. 复杂度分析

• 预处理 $f$：$O(64^3 \times 64 \times 3) \approx 5\times 10^7$ 可接受
• 容斥 $DP$：$O(o^2)$，$o \le 10^4$，所以 $O(10^8)$ 有点紧但可行
• 空间：$O(64^3 + o)$

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4. 样例验证

样例：

1 1 1
0

$n=1$，没有障碍，终点 $(1,1,1)$：

• $\text{pc}(1)=1$（二进制 $1$ 有 $1$ 个 $1$）
• $f[1][1][1]$ 表示在三个坐标上各添加 $1$ 个 $1$ 的交错顺序数
• 三个 $1$ 的排列：$3! = 6$，但每个坐标内的 $1$ 顺序固定，所以就是 $6$ 种交错顺序

输出 $6$，符合样例。

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总结

这道题的核心技巧：

1. 二进制包含关系 → 按位添加 $1$ 的顺序问题
2. 三维独立性 → 多重集排列数
3. 容斥原理处理障碍
4. 异或运算计算需要新增的 $1$ 的个数

通过将大范围坐标 ($\le 10^{18}$) 转化为 popcount 的小范围问题，实现了高效计算。