「SDOI2017」天才黑客 详细题解

问题深入分析

1. 核心难点

• 动态口令：程序的口令在运行过程中会改变
• LCP代价：通过边的代价与当前口令和边口令的相似度相关
• 状态爆炸：直接维护(节点, 口令)的状态数达到 $O(n \times k)$，不可行

2. 关键转化

观察1：在字典树中，从节点 $x$ 到节点 $y$ 的路径代价只与它们的LCA有关

• $\text{cost} = c + \text{dep}[LCA(x,y)]$
• 这是因为LCP长度等于LCA的深度

观察2：我们可以把问题看作在分层图上跑最短路

• 第一层：原图的节点
• 第二层：字典树节点（代表不同口令）
• 但直接构建这样的图会太大

算法核心思想

1. 虚树优化建图

对于每个原图节点 $u$，我们只关心：

• 从 $u$ 出发的边对应的字典树节点（出边口令）
• 到达 $u$ 的边对应的字典树节点（入边口令）

步骤：

1. 收集所有与 $u$ 相关的字典树节点
2. 构建这些节点的虚树（包含所有LCA）
3. 在虚树上建立辅助结构来快速计算最小代价

2. 代价计算优化

对于从口令 $x$ 切换到口令 $y$ 的代价 $\text{dep}[LCA(x,y)]$，我们利用虚树性质：

在虚树中，对于任意节点 $y$，考虑所有可能的 $x$：

min_{x} (dist[u][x] + dep[LCA(x,y)]) = min_{z在y到根的路径上} (f(z) + dep[z])

其中 $f(z) = min_{x在z子树中} dist[u][x]$

3. 前后缀链技术

为了实现快速查询，我们在虚树上构建：

• 前缀链 $pre[i]$：从虚树第一个节点到第 $i$ 个节点的最优值
• 后缀链 $suf[i]$：从第 $i$ 个节点到虚树最后一个节点的最优值

这样对于任意 $y$，我们可以在 $O(1)$ 时间内求出最小代价。

详细实现步骤

阶段1：预处理字典树

// 树链剖分预处理LCA
void dfs1(int u) {
    sz[u] = 1;
    for (每个子节点 v of u) {
        dep[v] = dep[u] + 1;
        dfs1(v);
        sz[u] += sz[v];
        if (sz[v] > sz[bigson[u]]) bigson[u] = v;
    }
}

void dfs2(int u) {
    dfn[u] = ++dfc;
    if (bigson[u]) {
        top[bigson[u]] = top[u];
        dfs2(bigson[u]);
    }
    for (每个子节点 v of u, v ≠ bigson[u]) {
        top[v] = v;
        dfs2(v);
    }
}

阶段2：为每个节点构建优化图

步骤2.1：收集相关字典树节点

• 添加根节点 1
• 添加所有出边的口令节点
• 添加所有入边的口令节点

步骤2.2：构建虚树

1. 按DFS序排序
2. 添加相邻节点的LCA
3. 再次排序去重

步骤2.3：建立辅助结构

// 为虚树节点分配编号
for j = 1 to cnt:
    id[j] = new_node()
    mxn[j] = mnn[j] = j

// 构建前后缀链
pre[1] = new_node(); link(pre[1], id[1], 0)
suf[cnt] = new_node(); link(suf[cnt], id[cnt], 0)

for j = 2 to cnt:
    pre[j] = new_node()
    link(pre[j], id[j], 0)
    link(pre[j], pre[j-1], 0)  // 前缀传递

for j = cnt-1 downto 1:
    suf[j] = new_node()
    link(suf[j], id[j], 0)
    link(suf[j], suf[j+1], 0)  // 后缀传递

步骤2.4：建立LCP优化边

for j = cnt downto 2:
    fa = Find(LCA(x[j], x[j-1]))
    mxn[fa] = max(mxn[fa], mxn[j])
    mnn[fa] = min(mnn[fa], mnn[j])
    
    if (fa ≠ 1) link(id[j], id[fa], 0)
    
    if (mnn[j] ≠ 1) 
        link(id[j], pre[mnn[j]-1], dep[x[fa]])
        
    if (mxn[j] ≠ cnt)
        link(id[j], suf[mxn[j]+1], dep[x[fa]])

阶段3：连接原图边

出边连接：

for 每条从u出发的边e = (u,v,c,y):
    link(id[Find(y)], e, c)

入边连接：

for 每条到达u的边e = (u,v,c,y):
    link(e, suf[1], dep[y])  // 直接连接到后缀链
    if (Find(y) ≠ 1) link(e, id[Find(y)], 0)

阶段4：运行最短路算法

// 初始化
for 每条从节点1出发的边e:
    dis[e] = c[e]
    push e to priority_queue

// Dijkstra
while queue not empty:
    pop min node u
    if visited[u]: continue
    mark u visited
    for each edge (u, v, w):
        if dis[v] > dis[u] + w:
            dis[v] = dis[u] + w
            push v to queue

阶段5：统计答案

for 每条边e = (u,v,c,y):
    ans[v] = min(ans[v], dis[e])

复杂度分析

时间复杂度

• 虚树构建：$O(k \log k)$ 每个节点，总共 $O(nk \log k)$
• 最短路：$O((m + nk) \log (m + nk))$
• 总体：$O((m + nk) \log (m + nk))$

空间复杂度

• 图存储：$O(m + nk)$
• 虚树相关：$O(k)$ 每个节点

正确性证明

1. 状态完整性

通过虚树，我们包含了所有可能的口令转移：

• 直接转移：口令不变或微小变化
• 间接转移：通过前后缀链实现口令大跳转

2. 代价正确性

前后缀链保证了：

• 对于任意目标口令 $y$，我们都能找到最优的源口令 $x$
• LCP代价通过LCA深度正确计算

3. 最优性

Dijkstra算法在扩展后的图上保证找到全局最优解。

优化技巧总结

1. 虚树压缩：将指数级状态压缩到线性
2. 前后缀链：$O(1)$ 时间查询最小代价
3. 统一编号：所有节点（原图边、虚树节点、辅助节点）统一编号，便于Dijkstra
4. 链式前向星：高效存储稀疏图

边界情况处理

1. 空口令：对应字典树根节点1
2. 自环重边：题目明确说明可能存在
3. 内存管理：多组数据要及时清空
4. 整数溢出：使用long long存储距离

这种方法将复杂的动态口令问题转化为经典的最短路问题，通过巧妙的图构建避免了状态爆炸，是图论建模的典范。