好的，这是一份详细的文字题解。

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题目分析

1. 问题理解

1.1 生成排列

题目的前半部分给出了一个随机排列生成算法：

1. 用二次多项式递推生成序列 (x_1, x_2, \dots)
   [ x_i = (a \cdot x_{i-1}^2 + b \cdot x_{i-1} + c) \bmod d ]
2. 令 (K = N \times M)，初始化 (T[1 \dots K] = [1,2,\dots,K])。
3. 进行 (K) 次交换（按题目描述的算法）。
4. 进行 (Q) 次额外交换，交换 (T[u_i]) 和 (T[v_i])。

这样得到最终排列 (T)，按行优先填充到 (N \times M) 棋盘 (A)。

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1.2 路径与路径序列

从左上角 ((1,1)) 到右下角 ((N,M))，只能向右或向下，经过 (N+M-1) 个格子。
将这些格子上的数值从小到大排序，得到的长度为 (N+M-1) 的升序序列称为路径序列。

题目要求：在所有合法路径中，找出一个路径，使得它的路径序列的字典序最小。

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2. 关键转化

“字典序最小的路径序列”比较的是排序后的序列，而不是路径经过的顺序。

这意味着：
设某条路径的格子值集合为 (P)，排序后为 (S = [s_1, s_2, \dots, s_{n+m-1}])。
我们要找一条路径，使 (S) 字典序最小。

关键观察：

• 设两条路径的排序后序列为 (S_1) 和 (S_2)，从第一个位置开始比较。
• 要让 (S_1) 字典序小于 (S_2)，必须存在 (t) 使得 (S_1[1..t-1] = S_2[1..t-1]) 且 (S_1[t] < S_2[t])。
• 所以本质是让最小的若干个数尽可能小。

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等价转化：
我们试着从最小值到最大值依次判断能否在路径中。
目标是让路径中包含尽可能多的小数字。

具体来说：
假设我们想检查“是否存在一条路径，使得路径中所有值都 (\le v)”。
如果存在这样的路径，那么最终的路径序列的最大值可以不超过 (v)，从而可能比那些必须包含大于 (v) 的值的路径更优。

因此，我们可以二分答案 (V)：
检查是否存在一条路径，使得路径上的所有数都 (\le V)。

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3. 二分可行性检验

3.1 思路

固定 (V)，我们在棋盘上标记出所有值 (\le V) 的格子（称为“好格子”），其余为“坏格子”。
问题变为：是否存在一条从 ((1,1)) 到 ((N,M)) 的路径，只经过好格子？

这个等价于：好格子形成的子图中，((1,1)) 和 ((N,M)) 是否连通（在右/下移动约束下）？

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更简单的方法： 设 (f(i,j)) 表示从 ((1,1)) 出发能否到达 ((i,j)) 且只经过好格子。
转移： [ f(i,j) = \text{true} \quad \text{当且仅当} \ A[i][j] \le V \ \text{且} \ (f(i-1,j) \ \text{或} \ f(i,j-1)) ] 边界：(f(1,1) = \text{true}) 当且仅当 (A[1][1] \le V)。

最终如果 (f(N,M) = \text{true})，则存在全 (\le V) 的路径。

复杂度：(O(NM)) 每次检查。

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3.2 改进

但是 (O(NM \log K)) 可能太大（(NM=25\times 10^6)，乘 (\log 25\times 10^6 \approx 25)，太大）。
注意到我们其实不是求最小可能的 (V)（最大值最小化），而是要让路径序列整体字典序小，这要求我们按数值从小到大的顺序贪心地加入路径必须包含的数。

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4. 更优思路：逐个数确定

我们最终要输出的是排序后的序列 (S[1..n+m-1])，而不是路径。
设最终的路径格子集合为 (P)，排序后是 (S)。

考虑从小到大依次确定 (S[k]) 的最小可能值：

• 假设我们已经确定了前 (k-1) 小的数 (S[1..k-1])，现在想确定 (S[k]) 最小能是多少。
• 我们要找一条路径，使得路径中至少有 (k) 个数 (\le v)，且前 (k-1) 小的数已经固定为某些位置。
• 更简单的想法：从小到大枚举数值 (val)，检查如果必须包含 (val) 这个格子，是否还能形成路径。

实际上，已知一个经典方法： 字典序最小的路径序列 ⇔ 路径中必须包含某些最小值，并且要在包含它们的前提下还能走到终点。

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可以这样做：

1. 将所有格子按值从小到大排序。
2. 按此顺序依次尝试将格子标记为“必须经过”（好格子），检查从 ((1,1)) 到 ((N,M)) 是否有一条路径只经过好格子。
3. 如果可以，那么这个格子可以加入好格子集合；如果不可以，说明任何路径都不能包含这个格子（如果它被强制好，就会阻断路径连通性）。
4. 我们想要路径经过尽可能多的小格子，所以尽量加入小格子，直到好格子数量达到 (n+m-1)（路径长度）并且能连通起终点。
5. 最终，好格子集合中的数排序后就是答案。

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正确性：
如果我们贪心按值从小到大加格子，一旦加入某个格子后仍然存在从起点到终点的路径（只经过好格子），那么这个格子就可以在最终路径中。
我们一直加到好格子数达到 (n+m-1) 为止，这些好格子的值排序后就是最小的路径序列。

为什么？
因为如果存在另一个路径序列字典序更小，那么它会在某个位置包含一个更小的数，而我们贪心时一定会尝试包含那个数（按值从小到大尝试），如果能包含就包含，所以不会错过。

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5. 连通性维护与算法步骤

我们需要一个数据结构，支持：

• 动态将格子标记为“可用”。
• 查询从 ((1,1)) 到 ((N,M)) 是否有一条只走可用格子的路径（只能向右/下）。

但“只能向右/下”意味着：
从 ((1,1)) 能到达的所有可用格子是一个“右下可达”区域，我们需要知道这个区域是否包含 ((N,M))。

技巧： 我们可以维护两个集合：

• 从起点出发能到达的可用格子集合（右/下走）。
• 从终点反向能到达的可用格子集合（左/上走）。

如果存在一个可用格子，使得从起点能到它，且从它能到终点，那么起点终点连通。

更简单：
维护 (R_{\min}, R_{\max}) 表示当前从起点能到达的每一行的最小和最大列。随着加入新格子，扩展可达区域。

但是 (N,M \le 5000)，我们可以每加一个格子就 BFS 一次吗？不行，太慢。

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实际上更简单高效的方法： 我们从大到小考虑坏格子（值大的格子），看它是否必须坏掉（即如果它变好，能否连通起点终点）。

等价于：

• 初始时所有格子都是坏的。
• 按值从小到大将格子变好。
• 维护一个并查集，只连好格子之间的边（右、下相邻）。
• 每次将格子变好时，连接它和它右/下相邻的好格子。
• 检查 ((1,1)) 和 ((N,M)) 是否在同一个连通块（且它们本身都是好格子）。
• 一旦连通，当前所有好格子中，最小的 (n+m-1) 个数就是答案序列。

为什么？ 当我们按值从小到大加格子，第一次使得起点和终点连通时，我们得到的好格子集合包含了一条可行路径的所有格子（连通性保证）。
但是路径长度只需要 (n+m-1) 个格子，所以我们可以取这些好格子中值最小的 (n+m-1) 个。

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6. 最终算法流程

1. 按给定算法生成排列 (T[1..K])，并填入矩阵 (A[N][M])。
2. 记录每个数值的坐标 ((i,j))。
3. 将格子按值从小到大排序。
4. 初始化并查集，所有格子为坏（未激活）。
5. 按值从小到大激活格子：
   • 将格子标记为好。
   • 检查它的右邻居、下邻居是否好，如果是，则在并查集中合并。
   • 检查 (A[1][1]) 和 (A[N][M]) 是否都已激活且在同一连通块。
   • 一旦连通，停止。
6. 此时所有激活的格子集合中，取最小的 (n+m-1) 个数，排序输出。

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复杂度：

• 生成排列 (O(K+Q))。
• 排序 (O(K \log K))。
• 并查集操作 (O(K \alpha(K)))。
• 空间 (O(K))。

满足 (N,M\le 5000)，(K \le 2.5\times 10^7) 在 256MB 内存限制下可行（每个格子存值和坐标，约 (2.5\times 10^7 \times 8) 字节 ≈ 200MB，加上并查集数组约 100MB，接近但可优化，例如用 short 存行列等）。

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7. 样例验证

样例输入：

1 3 5 1 71
3 4 3
1 7
9 9
4 9

生成排列（过程略），按行优先得矩阵：

1  2  3  4
5  6  7  8
9 10 11 12

额外交换后可能变成（这里直接给最终棋盘，由随机算法得到，但样例输出对应某个棋盘）：

1  2  6  8
5  3  4 12
9 10  7 11

按算法： 从小到大激活格子，直到 (1,1) 和 (3,4) 连通。
激活的数排序后最小的 (3+4-1=6) 个数是 (1,2,6,8,9,12)（与输出一致）。

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8. 总结

这道题的关键步骤：

1. 理解路径序列是排序后的，比较字典序等价于让小的数尽量多。
2. 转化为连通性问题：按数值从小到大激活格子，直到起点终点连通。
3. 用并查集维护连通性，只连接右、下相邻的好格子。
4. 第一次连通时，取已激活的最小的 (N+M-1) 个数排序输出。

这样即可在 (O(NM \log(NM))) 时间内解决，且内存可控。