「排序机械臂」题解

题目概述

排序机械臂按照特定规则对物品进行排序：第 $i$ 次操作找到第 $i$ 小的物品位置 $P_i$，然后将区间 $[i, P_i]$ 反转。要求输出每次操作前找到的位置序列。

算法思路

核心挑战

• 直接模拟每次反转操作的时间复杂度为 $O(N^2)$，无法处理 $N \leq 10^5$ 的数据规模
• 需要高效支持动态序列的查找和区间反转操作

解决方案：Splay树

使用Splay树（伸展树）来维护当前序列状态，通过对数时间复杂度的操作实现高效模拟。

关键实现细节

1. 数据结构设计

struct Node {
    Node *ch[2], *fa;  // 左右子节点和父节点
    int sz;            // 子树大小
    bool rev;          // 反转标记
    int id;            // 原始编号
};

2. 核心操作

旋转操作 (Rotate)

• 保持Splay树平衡的基础操作
• 处理节点与其父节点的位置交换

伸展操作 (Splay)

• 将指定节点移动到根节点或指定位置
• 通过旋转操作实现，均摊时间复杂度 $O(\log N)$

区间反转

void reverse_segment(int L_real, int R_real) {
    // 通过将区间两端节点伸展到适当位置，标记子树反转
    // 实际实现使用惰性标记，在访问时下传
}

3. 算法流程

1. 初始化

   • 构建包含 $n+2$ 个节点的平衡Splay树（包含两个哨兵节点）
   • 节点按原始位置顺序排列

2. 预处理

   • 对物品进行稳定排序，保持相同高度物品的相对顺序
   • 记录每个排序位置对应的原始编号

3. 模拟操作

   for (int i = 1; i <= n; ++i) {
       // 找到第i小物品的当前位置
       int pos = get_position(对应节点);
       
       // 记录答案
       ans.push_back(pos);
       
       // 反转区间 [i, pos]
       reverse_segment(i, pos);
   }
   

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(N \log N)$

  • 每次查找位置：$O(\log N)$
  • 每次区间反转：$O(\log N)$
  • 总共 $N$ 次操作

• 空间复杂度：$O(N)$

  • 存储Splay树节点
  • 辅助数组

算法优势

1. 高效性：相比直接模拟的 $O(N^2)$，Splay树实现达到 $O(N \log N)$
2. 灵活性：Splay树天然支持区间操作
3. 稳定性：通过稳定排序保证相同高度物品的相对顺序

适用场景

这种基于Splay树的解法适用于需要频繁进行区间反转和动态查询的序列维护问题，特别适合：

• 动态序列操作
• 区间反转问题
• 在线算法场景

总结

本题通过巧妙运用Splay树这一数据结构，将看似复杂的排序过程转化为高效的数据结构操作，展示了算法设计在解决实际问题中的强大威力。