🔍 核心思路分析

1. 问题理解与操作性质：

   • 有 $n$ 种操作，第 $i$ 种操作将序列分成 $2^{n-i+1}$ 段，每段长 $2^{i-1}$，并允许交换其中任意两段。
   • 每个操作最多使用一次，操作序列不同的定义考虑操作个数、种类或交换位置不同。
   • 一个重要性质：如果存在一组操作能使序列有序，那么这组操作中各个操作的执行顺序可以任意调整，且都能达到目标。因此，对于一组包含 $k$ 个操作的可行解，其对答案的贡献为 $k!$。

2. DFS 搜索策略：

   • 采用深度优先搜索 (DFS)，按操作编号从小到大（即操作影响的段长度从小到大）枚举是否使用每种操作。
   • 在DFS过程中，关键是要判断在当前操作划分下，序列的哪些部分不符合要求，并尝试通过交换段来修正。

3. DFS中的判断与交换：

   • 对于当前操作 $k$，序列被划分为长度为 $2^{k+1}$ 的大段（对应下一次操作 $k+1$ 的段）。
   • 检查每个大段内两个连续的小段（长度为 $2^k$）是否连续且递增。具体来说，后一个小段的第一个数应等于前一个小段的最后一个数加1。
   • 根据不符合要求的大段数量进行处理：
     • 0个：直接递归到下一层。
     • 1个：交换该大段内的两个小段，然后递归。
     • 2个：尝试将一个大段内的一个小段与另一个大段内的一个小段进行交换，共有4种可能的交换方式，对每种有效方式递归。
     • 超过2个：当前分支无解，返回。
   • 递归到操作 $n$ 并满足条件时，累加当前操作集合大小 $sum$ 的阶乘 $sum!$ 到答案。注意用状压记录操作集合以防重复计算。

🧩 算法步骤

1. 预处理：

   • 计算阶乘数组，用于快速获取操作序列数的贡献。
   • 准备DFS。

2. DFS 过程：

   • 参数：当前操作编号 $k$，已使用操作数 $sum$，已使用操作集合的状压表示 $sta$（用于去重）。
   • 终止条件：当 $k = n$ 时，如果 $sta$ 未被记录过，则答案加上 $sum!$，并标记 $sta$。
   • 对于当前操作 $k$：
     • 计算下一次操作 $k+1$ 的段长度 $len = 2^{k+1}$ 和段数 $part$。
     • 遍历所有段，找出不符合连续性要求的大段，存入 wrong 数组。
     • 根据 wrong.size() 进行不同处理：
       • >2：直接返回。
       • =0：递归 $k+1$，不执行当前操作。
       • =1：交换该段内两个小段，递归 $k+1$ 并更新 $sum$ 和 $sta$，然后交换还原。
       • =2：尝试两个大段之间小段的4种交换组合，对每种有效的交换后递归，然后还原。
   • 注意在交换后，需要检查交换后的大段是否满足连续性要求。

📊 复杂度分析

• 时间复杂度：DFS过程中，每层最多尝试常数次交换（0、1或4次），递归深度为 $n$，最坏情况复杂度难以精确界定，但由于 $n \leq 12$ 且有效的操作序列不会太多，实际可以接受。
• 空间复杂度：主要为递归栈和数组存储，在 $n \leq 12$ 下足够。

🖥️ 代码实现

以下是基于上述思路的C++代码实现（主要参考）：

#include <bits/stdc++.h>
#define P 4100
#define ll long long
using namespace std;

ll ans;
int n, pown, a[P];
bool vis[P]; // 状压记录每个序列种类

ll A(int x) { // 阶乘
    ll ans = 1;
    for (int i = 1; i <= x; i++) ans *= i;
    return ans;
}

void swapp(int st1, int ed1, int st2, int ed2) {
    for (int l = st1, r = st2; l <= ed1; l++, r++)
        swap(a[l], a[r]);
}

bool check(int st, int ed, int len) {
    // 检查区间[st, ed]内的数是否连续且递增，并且首元素减1是len的倍数
    if ((a[st] - 1) % len != 0) return false;
    for (int i = st + 1; i <= ed; i++)
        if (a[i] != a[i - 1] + 1)
            return false;
    return true;
}

void dfs(int k, int sum, int sta) {
    if (k == n) {
        if (!vis[sta]) {
            ans += A(sum);
            vis[sta] = true;
        }
        return;
    }
    int len = 1 << (k + 1); // 下一次操作k+1的段长度
    int part = 1 << (n - k - 1); // 下一次操作k+1的段数
    vector<int> wrong;
    for (int i = 1; i <= part; i++) {
        int st = (i - 1) * len + 1, ed = i * len;
        if (!check(st, ed, len))
            wrong.push_back(i);
    }
    if (wrong.size() > 2) return;
    if (wrong.size() == 0) {
        dfs(k + 1, sum, sta); // 不使用操作k
    } else if (wrong.size() == 1) {
        int id = wrong[0];
        int st = (id - 1) * len + 1, ed = id * len, mid = (st + ed) / 2;
        // 交换该段内两个小段
        swapp(st, mid, mid + 1, ed);
        dfs(k + 1, sum + 1, sta | (1 << k));
        swapp(st, mid, mid + 1, ed); // 回溯
    } else if (wrong.size() == 2) {
        int id1 = wrong[0], id2 = wrong[1];
        int st1 = (id1 - 1) * len + 1, ed1 = id1 * len, mid1 = (st1 + ed1) / 2;
        int st2 = (id2 - 1) * len + 1, ed2 = id2 * len, mid2 = (st2 + ed2) / 2;
        
        // 尝试四种交换组合
        swapp(st1, mid1, st2, mid2);
        if (check(st1, ed1, len) && check(st2, ed2, len)) 
            dfs(k + 1, sum + 1, sta | (1 << k));
        swapp(st1, mid1, st2, mid2);
        
        swapp(st1, mid1, mid2 + 1, ed2);
        if (check(st1, ed1, len) && check(st2, ed2, len)) 
            dfs(k + 1, sum + 1, sta | (1 << k));
        swapp(st1, mid1, mid2 + 1, ed2);
        
        swapp(mid1 + 1, ed1, st2, mid2);
        if (check(st1, ed1, len) && check(st2, ed2, len)) 
            dfs(k + 1, sum + 1, sta | (1 << k));
        swapp(mid1 + 1, ed1, st2, mid2);
        
        swapp(mid1 + 1, ed1, mid2 + 1, ed2);
        if (check(st1, ed1, len) && check(st2, ed2, len)) 
            dfs(k + 1, sum + 1, sta | (1 << k));
        swapp(mid1 + 1, ed1, mid2 + 1, ed2);
    }
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    pown = 1 << n;
    for (int i = 1; i <= pown; i++)
        scanf("%d", &a[i]);
    dfs(0, 0, 0);
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}

💡 关键点说明

• 操作顺序无关性：这是解题的基础，保证了我们可以按固定顺序考虑操作，并将可行解贡献简化为阶乘。
• DFS递归与回溯：通过递归尝试所有可行的交换组合，并通过回溯确保状态正确恢复。
• 连续性检查：检查段内元素是否连续是判断是否需要交换以及交换后是否有效的关键。
• 去重：使用状压记录已统计的操作集合，避免重复计算。