「SCOI2005」骑士精神 题解

题意简述

在一个 $5 \times 5$ 的棋盘上，有 $12$ 个白色骑士、$12$ 个黑色骑士和 $1$ 个空位。骑士按照国际象棋中马的走法移动（走"日"字），每次只能将骑士移动到空位上。给定初始棋盘状态，要求通过最少的移动步数将棋盘变为目标状态。如果能在 $15$ 步内完成，输出最少步数；否则输出 $-1$。

算法思路

## 问题分析

这是一个典型的状态空间搜索问题，但由于步数限制较严格（最多 $15$ 步），直接使用广度优先搜索（BFS）可能状态过多，因此需要采用更高效的搜索策略。

核心算法：迭代加深搜索（IDS）

本解法采用迭代加深搜索结合启发式剪枝的策略：

1.迭代加深：从最小可能步数开始，逐步增加搜索深度限制，直到找到解或达到最大深度 $15$。

2.启发式函数：使用一个简单的估价函数——统计当前棋盘与目标棋盘不同位置的骑士数量（不包括空位）。这个函数满足可采纳性，能够有效剪枝。

3.剪枝优化：如果当前步数加上剩余估计步数超过深度限制，则剪枝 避免来回移动的无效操作，记录上一步移动方向的反方向

搜索过程

1.初始化：计算初始状态与目标状态的差异值（不同位置的骑士数）

2.深度迭代：从差异值开始到 $15$ 步，逐层增加搜索深度

3.状态扩展：对于每个状态，尝试空位的 $8$ 个可能移动方向

4.状态评估：移动后更新差异值，继续搜索

5.终止条件：找到目标状态或超过深度限制

算法特点

1.完备性：保证在 $15$ 步内找到最优解（如果存在）

2.高效性：通过迭代加深避免内存爆炸，启发式剪枝大幅减少搜索空间

3.最优性：找到的解一定是最少步数

该算法充分利用了问题规模较小（$5 \times 5$ 棋盘）和步数限制严格的特点，在保证正确性的同时实现了高效的求解。