1. 题意理解

我们有一个大数 $R$ ，它的二进制表示是字符串 $S$ 重复 $K$ 次得到的，且 $S$ 的第一个字符是 1，所以 $R$ 是一个很大的二进制数。

我们要在 $[0, R-1]$ 中选出 $N$ 个不同的整数，使得它们的异或和为 $0$ ，问方案数。

• 顺序不重要（组合数）。
• $N \ge 3$ ，且 $N \le 7$ 。
• $K$ 最大 $10^5$ ，$|S|$ 最大 $50$ 。

---

2. 问题转化

设 $m = |S|$ ，那么 $R$ 的二进制长度是 $mK$ 。

我们是在 $[0, R-1]$ 中选数，也就是小于$R$ 的非负整数。

---

2.1 数位 DP 思路

这是一个典型的 数位 DP 问题，不过这里不是统计一个数，而是统计 $N$ 个数的组合，并且要求它们异或和为 $0$ 。

由于 $N$ 很小（最大 7），我们可以用一个 DP 状态表示：

• 当前处理到二进制第几位（从高位到低位）
• 当前 $N$ 个数在这一位之前与 $R$ 的前缀的大小关系（是否已经小于 $R$ 的对应前缀）
• 当前已确定部分的异或和（其实不需要记录完整异或和，因为只关心最终为 0）

但这里 $N$ 个数是 不同的，并且是组合不是排列，所以我们需要考虑不同数的限制。

---

3. 关键难点

难点在于 $R$ 是由 $S$ 重复 $K$ 次得到的，这提示我们可能要用 矩阵快速幂 或 自动机 + DP 来加速。

---

3.1 循环节性质

设 $S$ 的长度为 $m$ ，那么 $R$ 的二进制形式是 $S$ 重复 $K$ 次。

考虑从高到低处理二进制位，每 $m$ 位是一个循环节（内容相同），但是注意：每个循环节内的位是固定的，由 $S$ 给出。

---

3.2 逐块处理

我们可以把整个二进制串分成 $K$ 块，每块长度 $m$ ，每块内的二进制模式相同。

定义状态：

• 当前块索引 $i$ （从 0 到 $K-1$ ）
• 一个大小为 $2^N$ 的向量，表示前面所有块中，$N$ 个数与 $R$ 的大小关系（即是否已经小于 $R$ 的对应前缀）以及当前块开始前的异或和的高位部分？

实际上更精确的模型是：

---

4. 自动机构建

我们考虑一个长度为 $mK$ 的二进制数 $R$ ，我们要选 $N$ 个数 $x_1, x_2, \dots, x_N < R$ 。

我们可以同时进行 $N$ 个数的大小比较，用一个 $N$ 位的状态 表示每个数目前是等于 $R$ 的前缀（0）还是已经小于（1）。

同时，我们还需要记录当前所有已确定位的异或和（模 2），但这里长度很长，不能直接记录整个异或和。不过因为最终要求整个异或和为 0，我们可以逐位处理，并在最后检查。

---

4.1 逐位 DP

设 $dp[pos][mask][xor]$ 表示：

• 当前处理到位 $pos$ （从高位到低位，总共有 $mK$ 位）
• $mask$ ：$N$ 位二进制，第 $j$ 位为 1 表示 $x_j$ 已经小于 $R$ 的前缀，否则表示等于
• $xor$ 当前已处理的所有位的异或和（0 或 1）

但这样状态数太大：$mK \times 2^N \times 2$ 在 $K$ 很大时不行。

---

5. 利用循环节

因为 $R$ 是 $S$ 重复 $K$ 次，所以除了第一个块，后面的块模式相同。

我们可以先对 一个块（长度为 $m$ ）进行预处理，计算转移矩阵：

• 输入：进入这个块时的 $mask$ （大小关系状态）
• 输出：离开这个块后的新 $mask$ ，以及在这个过程中，有多少种方法使得最终异或和为 0（或者我们只记录转移计数，最后再考虑异或和）

---

5.1 单块 DP

对于固定的一个 $m$ 位块（即 $S$ ），我们做 DP：

设 $f[i][mask][xor]$ 表示在块内处理到第 $i$ 位（0 到 $m-1$ ），当前大小关系状态是 $mask$ ，当前块内已处理位的异或和为 $xor$ 的方案数。

转移时，枚举 $N$ 个数在当前位的取值（0 或 1），但要满足大小关系约束：如果某个数之前是等于 $R$ 的对应前缀，那么这一位不能大于 $R$ 的这一位（即 $S[i]$ ）；如果等于，则保持等于状态，如果小于，则可以任意取。

---

5.2 块间转移

一个块处理完后，输出的是新的 $mask'$ 和这个块内异或和，但块与块之间的异或和是累加的（按位异或），所以我们需要记录块间的异或和吗？不行，因为最终只要总异或和为 0，中间过程可以任意。

实际上，我们可以把 异或和 0 的条件放到最后再检查，即我们只统计那些整个 $mK$ 位异或和为 0 的方案。

---

6. 最终解法框架

1. 单块转移矩阵 $T[mask][newMask]$ 表示：从进入块时大小状态 $mask$ ，到离开块时大小状态 $newMask$ ，并且 不记录异或和（因为异或和是全局的，不能分块简单合并？这里需要处理）。

   实际上，异或和是线性的（模 2），所以我们可以把异或和也作为状态的一部分在块间传递。但这样状态数是 $2^N \times 2$ ，仍然可行。

   那么单块 DP 得到 $T[mask][xor][newMask][newXor]$ 表示：进入时 $(mask, xor)$ 到离开时 $(newMask, newXor)$ 的方案数。

2. 整个 $R$ 有 $K$ 个块，第一个块可能特殊？不，所有块二进制模式相同，但第一个块进入时 $mask = 0$ （所有数都等于前缀），后面块进入时 $mask$ 可能非 0。

3. 用矩阵快速幂把 $K$ 个块的转移合并。

4. 初始状态：$(mask=0, xor=0)$ 方案数 = 1。 最终状态：$(mask=任意, xor=0)$ 的方案数总和。

---

7. 不同数的处理

我们还要保证 $N$ 个数互不相同。这可以在单块 DP 中处理：在枚举当前位的取值时，如果两个数之前状态相同（都等于前缀）并且这一位取值相同，则它们仍然相同；如果某个数已经小于，则可以任意。我们要求最终所有数不能完全相同（即至少有一位不同），但题目要求严格不同，所以如果两个数在所有位都相等，则非法。

我们可以在最终统计时，去掉那些有重复数的方案。由于 $N$ 很小，我们可以用容斥：先不管重复，最后减去有重复的情况。

---

8. 总结算法步骤

1. 预处理单块转移矩阵 $M$ 大小 $(2^N \cdot 2) \times (2^N \cdot 2)$ ），即状态 $(mask, xor)$ 到 $(newMask, newXor)$ 。
2. 用矩阵快速幂计算 $M^K$ 。
3. 初始向量 $v_{(0,0)} = 1$ 。
4. 结果 = $(M^K \cdot v)$ 中所有 $xor=0$ 的状态的和。
5. 去掉选择中有重复数的情况（因为题目要求不同整数）：用容斥，枚举哪些数相等，转化为选 $t < N$ 个数的子问题，同样用上述 DP 但数的个数减少，递归或迭代计算。

---