取石子游戏（带合并操作）题解

题目理解

这是一个组合博弈问题，与传统Nim游戏不同，玩家除了可以取石子外，还可以合并石堆：

• 操作1：从某堆取走1个石子
• 操作2：合并任意两堆石子
• Alice先手，无法操作者输

核心算法

算法标签：组合博弈 动态规划 状态设计 记忆化搜索 必胜必败态分析

1. 状态设计的关键洞察

传统SG函数难以直接应用，因为合并操作改变了堆的结构。代码采用了巧妙的分类方法：

• a：大小为1的石堆数量（单石堆）
• b：其他堆的"操作数"（非单石堆的等效值）

对于非单石堆，大小为 $x$ 的堆贡献 $x + 1$ 到 $b$：

• $x$ 次取石操作（每次取1个）
• 1次合并操作（作为被合并的一方）

2. 状态转移分析

状态定义：f[a][b] 表示当前有 a 个单石堆，其他堆等效操作数为 b 时，当前玩家的胜负情况（1胜，0负）

五种转移方式：

// 1. 从单石堆取走一个
if (a && !dp(a - 1, b)) return v = 1;

// 2. 从非单石堆取走一个或合并两非单石堆  
if (b && !dp(a, b - 1)) return v = 1;

// 3. 合并两个单石堆
if (a >= 2 && !dp(a - 2, b + (b ? 3 : 2))) return v = 1;

// 4. 合并一个单石堆和一个非单石堆
if (a && b && !dp(a - 1, b + 1)) return v = 1;

3. 边界情况处理

if (!a) return v = b % 2;  // 只有非单石堆，胜负由操作数奇偶决定
if (b == 1) return dp(a + 1, 0);  // 特殊处理：单个非单石堆退化为单石堆

算法流程

步骤1：状态编码

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    cin >> x;
    if (x == 1)
        a++;  // 单石堆
    else
        b += (b ? x + 1 : x);  // 非单石堆贡献
}

步骤2：记忆化搜索

int dp(int a, int b) {
    if (v != -1) return v;  // 记忆化
    // ... 状态转移逻辑
}

步骤3：胜负判断

if (f[a][b] == 1)
    cout << "YES" << endl;  // Alice必胜
else
    cout << "NO" << endl;   // Alice必败

复杂度分析

• 状态空间：$O(N \times M)$，其中 $N \leq 50$，$M \approx 50000$
• 单次查询：$O(1)$ 记忆化访问
• 总复杂度：预处理后 $O(T)$

算法标签总结

主要标签

• 组合博弈 - 问题分类
• 动态规划 - 核心解法
• 记忆化搜索 - 实现方式

技术标签

• 状态压缩 - 将石堆分类为(a,b)状态
• 必胜必败态 - 游戏理论分析
• 递归搜索 - 深度优先遍历状态空间

博弈论标签

• impartial game - 公平博弈
• 状态转移 - 操作对应状态变化
• 奇偶性分析 - 边界情况处理

优化标签

• 记忆化 - 避免重复计算
• 状态分类 - 关键优化思路
• 预处理 - 初始化DP数组

关键创新点

1. 状态参数设计：将石堆分为单石堆(a)和其他堆(b)，简化状态空间
2. 操作数编码：用 $x + 1$ 表示大小为 $x$ 的非单石堆的等效操作次数
3. 合并操作处理：将合并操作统一纳入状态转移框架

样例验证

对于样例1：1 1 2

• a = 2（两个单石堆）
• b = 2 + 1 = 3（大小为2的堆）
• f[2][3] = 1 → YES

这个解法通过精巧的状态设计和完整的转移分析，解决了带合并操作的取石子游戏这一复杂博弈问题。