题目 A. Race 详细题解

题目重述

• Alice 从点 $a$ 出发。
• 奖品可能出现在点 $x$ 或点 $y$（$a, x, y$ 两两不等）。
• Bob 可以选择任意一个整数起点（不能选 $a$），目标是：
  • 无论奖品在 $x$ 还是 $y$，Bob 到奖品的距离 严格小于 Alice 到奖品的距离。
• 距离定义为 $|c - d|$。

核心思路

假设 $x < y$（如果不满足，可以交换 $x$ 和 $y$ 的分析，因为题目对称）。

考虑 $a$ 与 $x, y$ 的相对位置，共有 $3$ 种情况：

情况 1：$a < x < y$

• 奖品在 $x$ 时：
  Alice 距离 $= x - a$，Bob 若选 $x$，则距离 $= 0$，显然 $0 < x - a$ 成立。
• 奖品在 $y$ 时：
  Alice 距离 $= y - a$，Bob 若选 $x$，则距离 $= y - x$。
  因为 $x > a$，所以 $y - x < y - a$ 恒成立。

因此 Bob 可以选择 $x$ 点，保证获胜。
结论：YES

情况 2：$x < a < y$

• 如果 Bob 选择 $a$ 左边任意点 $b < a$：
  奖品在 $y$ 时，Alice 距离 $= y - a$，Bob 距离 $= y - b > y - a$（因为 $b < a$），Bob 输。
• 如果 Bob 选择 $a$ 右边任意点 $b > a$：
  奖品在 $x$ 时，Alice 距离 $= a - x$，Bob 距离 $= b - x > a - x$（因为 $b > a$），Bob 输。

无论 Bob 怎么选，总有一个奖品位置让他输。
结论：NO

情况 3：$x < y < a$

• 奖品在 $y$ 时：
  Alice 距离 $= a - y$，Bob 若选 $y$，则距离 $= 0$，显然 $0 < a - y$ 成立。
• 奖品在 $x$ 时：
  Alice 距离 $= a - x$，Bob 若选 $y$，则距离 $= y - x$。
  因为 $y < a$，所以 $y - x < a - x$ 恒成立。

因此 Bob 可以选择 $y$ 点，保证获胜。
结论：YES

统一条件

注意观察：

• 当 $a$ 在 $x$ 和 $y$ 同一侧时（即 $a < x < y$ 或 $x < y < a$），答案为 YES。
• 当 $a$ 在 $x$ 和 $y$ 之间时（即 $x < a < y$），答案为 NO。

等价判断：

若 $(a < x)$ 和 $(a < y)$ 同时为真，或同时为假，则输出 YES，否则 NO。

这正是标程中的一行判断：

cout << ((a < x) == (a < y) ? "YES" : "NO") << '\n';

完整证明

设 $x < y$。

时间复杂度

每个测试用例 $O(1)$，总复杂度 $O(t)$，完美通过。

示例验证

输入：

3
1 3 4
5 3 1
3 1 5

• 第1组：$a=1, x=3, y=4$，$1<3$ 且 $1<4$ → 相等 → YES
• 第2组：$a=5, x=3, y=1$，先排序为 $x=1, y=3$，$5<1$? 假，$5<3$? 假 → 相等 → YES
• 第3组：$a=3, x=1, y=5$，$3<1$? 假，$3<5$? 真 → 不等 → NO

输出：

YES
YES
NO

与题目样例完全一致。