A. 最终结果 详细题解

核心结论

整个数组的平均值是不变量，最终剩下的唯一数字一定等于初始数组的平均值。

因此答案只有一句话： 如果数组总和的平均值等于 $x$，输出 $\text{YES}$；否则输出 $\text{NO}$。

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严格证明

设当前数组长度为 $L$，总和为 $S$，平均值为 $\dfrac{S}{L}$。

执行一次操作：

1. 选择 $k$，把数组分成 $k$ 个等长子序列，每个子序列长度为 $\dfrac{L}{k}$。
2. 设第 $i$ 个子序列和为 $s_i$，平均值为 $\dfrac{s_i}{L/k}$。
3. 新数组总和：

$$\sum_{i=1}^k \frac{s_i}{L/k} = \frac{k}{L} \sum_{i=1}^k s_i = \frac{k}{L} \cdot S $$

4. 新数组长度为 $k$，新平均值：

$$\frac{\dfrac{k}{L} \cdot S}{k} = \frac{S}{L}$$

✅ 平均值永远不变 所以最后剩下的数字只能是初始平均值。

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解法步骤

1. 计算数组总和 $\text{sum}$。
2. 判断 $\dfrac{\text{sum}}{n} = x$ 是否成立。
3. 成立输出 $\text{YES}$，否则 $\text{NO}$。

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为什么不用浮点？

直接用 (double)sum / n == x 可能出现浮点精度误差。

最安全的判断方式：

$$\boldsymbol{sum = x \times n}$$

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样例解释

1. $[3]$，$\text{sum}=3$，$3=3\times1$ → $\text{YES}$
2. $[7,11,2,5]$，$\text{sum}=25$，$25 \neq 9\times4$ → $\text{NO}$
3. $[1,9,14,12,10,8]$，$\text{sum}=54$，$54=9\times6$ → $\text{YES}$
4. 全 $10$，$\text{sum}=100$，$100=10\times10$ → $\text{YES}$

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时间复杂度

$O(n)$ 每组测试用例，完全满足 $t \le 500, n \le 100$。

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总结

这道题是披着复杂操作外衣的简单数学题 唯一不变量就是数组平均值，直接判断 $\boldsymbol{sum = n \times x}$ 即可。