题目题解

问题描述

给定整数 $n$，求满足 $a = n - b$ 的 有序正整数对 $(a, b)$ 的数量。
其中 $a$ 和 $b$ 均为正整数，即 $a \ge 1$，$b \ge 1$。

解题思路

由等式 $a = n - b$ 可知，一旦 $b$ 确定，$a$ 就被唯一确定。
同时，$a$ 和 $b$ 必须为正整数，因此：

• $b \ge 1$
• $a = n - b \ge 1 \quad \Rightarrow \quad b \le n-1$

所以 $b$ 的取值范围是：

$$1 \le b \le n-1$$

$b$ 可以取从 $1$ 到 $n-1$ 的每一个整数，共有 $n-1$ 个不同的取值。
每个 $b$ 对应唯一的 $a = n - b$，且 $a$ 自动满足 $a \ge 1$。
因此，有序对 $(a,b)$ 的总数就是 $n-1$。

形式化推导

$$\text{答案} = \#\{ b \in \mathbb{Z}^+ \mid 1 \le b \le n-1 \} = n-1 $$

验证样例

• 当 $n = 2$ 时，$n-1 = 1$，对应 $(1,1)$。
• 当 $n = 4$ 时，$n-1 = 3$，对应 $(3,1),\ (2,2),\ (1,3)$。
• 当 $n = 6$ 时，$n-1 = 5$。

与题目输出完全一致。

复杂度分析

每个测试用例 $O(1)$ 时间，总时间复杂度 $O(t)$，空间复杂度 $O(1)$。

参考代码（标程）

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int t, n;
    cin >> t;
    while (t--) {
        cin >> n;
        cout << n - 1 << endl;
    }
    return 0;
}