$1$. 问题重述

我们有一个初始全为 $-1$ 的数组 $a$，长度 $n$。
Misuki 选择一台打字机（第一台从左到右写，初始位置 $1$；第二台从右到左写，初始位置 $n$），操作方式如下：

• 写数字：将当前不在数组中的最小正整数（即 $1,2,3,\dots$ 中第一个没写过的数）写入指针指向的位置（该位置必须为 $-1$）。
• 回车：指针回到该打字机的初始位置（第一台：$1$，第二台：$n$）。
• 移动指针：第一台：$i := i+1$；第二台：$i := i-1$。移动后必须在 $1 \le i \le n$ 范围内。

目标是：构造一个排列 $p$，使得从初始状态到 $a = p$ 所需的最少回车次数，无论使用哪台打字机都相同。

设 $c_1$ = 用第一台打字机时的最少回车次数，$c_2$ = 用第二台时的最少回车次数。要求 $c_1 = c_2$。

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$2$. 计算 $c_1$ 与 $c_2$

我们要考虑 $p$ 中数字的排列顺序。令 $pos_x$ 表示数字 $x$ 在 $p$ 中的下标（$1$-based）。

2.1 第一台打字机（从左到右）

指针从左到右移动，初始在 $1$。
写数的顺序是 $1,2,3,\dots,n$（因为每次写“当前不在数组中的最小正整数”）。

当要写 $x$ 时，光标位置 $= pos_{x-1}$（写完 $x-1$ 后光标所在位置）。
要写 $x$，如果 $pos_x < pos_{x-1}$，光标在右边，需要先回车到位置 $1$，再移动到 $pos_x$ 来写 $x$。
如果 $pos_x > pos_{x-1}$，则光标可以向右移动（不回车）到达 $pos_x$，所以不需回车。

因此：

$$c_1 = \#\{x \in [2,n] \mid pos_x < pos_{x-1}\}$$

换一种写法（索引对齐到 $1..n-1$）：
令 $x$ 表示 $x$ 与 $x+1$ 这对：

$$c_1 = \#\{x \in [1,n-1] \mid pos_x > pos_{x+1}\}$$

因为 $pos_x > pos_{x+1}$ 意味着数字 $x$ 在 $x+1$ 右边，那么写完 $x$ 要去写 $x+1$ 需要向左移，必须回车。

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2.2 第二台打字机（从右到左）

指针初始在 $n$，移动方向向左。

写数顺序仍是 $1,2,\dots,n$（唯一可能不同，但依然是先写 $1$ 再 $2$ 再 $3$...）。
写完 $x$ 后光标在 $pos_x$，要去写 $x+1$：

• 若 $pos_{x+1} > pos_x$，光标在左边，要去右边（向右走），但第二台打字机只能向左移动或回车回到 $n$ 再向左移，所以必须回车。
• 若 $pos_{x+1} < pos_x$，光标在右边，可以向左移动直接到达 $pos_{x+1}$，不需要回车。

因此：

$$c_2 = \#\{x \in [1,n-1] \mid pos_x < pos_{x+1}\}$$

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$3$. 关键关系

显然，对每个 $x$，要么 $pos_x < pos_{x+1}$，要么 $pos_x > pos_{x+1}$，不可能相等（因为是排列）。

所以：

$$c_1 + c_2 = n-1$$

因为每一对 $x, x+1$ 对 $c_1$ 或 $c_2$ 贡献恰好 $1$。

要求 $c_1 = c_2$，则：

$$c_1 = c_2 = \frac{n-1}{2}$$

所以必须有 $n-1$ 为偶数，即 $n$ 为奇数。

若 $n$ 为偶数，则 $\frac{n-1}{2}$ 不是整数，不可能相等，输出 $-1$。

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$4$. 构造方法

已知 $n$ 为奇数。

一种构造：让相邻数对 $(x, x+1)$ 的大小关系（在位置上的前后）交替变化，使得 $c_1 = c_2 = (n-1)/2$。

示例构造：

$$p = [n-1,\ n,\ n-3,\ n-2,\ n-5,\ n-4,\ \dots,\ 2,\ 3,\ 1] $$

即：先放 $n-1$，然后 $n$，然后 $n-3, n-2$，然后 $n-5, n-4$，... 最后 $2, 3, 1$。

对 $n=5$：
$p = [4,5,2,3,1]$。

检查：

• $1$ 在位置 $5$，$2$ 在位置 $3$ $\Rightarrow$ $pos_1=5>pos_2=3$ $\Rightarrow$ $(1,2)$ 计入 $c_1$。
• $2$ 在位置 $3$，$3$ 在位置 $4$ $\Rightarrow$ $pos_2=3<pos_3=4$ $\Rightarrow$ $(2,3)$ 计入 $c_2$。
• $3$ 在位置 $4$，$4$ 在位置 $1$ $\Rightarrow$ $pos_3=4>pos_4=1$ $\Rightarrow$ $(3,4)$ 计入 $c_1$。
• $4$ 在位置 $1$，$5$ 在位置 $2$ $\Rightarrow$ $pos_4=1<pos_5=2$ $\Rightarrow$ $(4,5)$ 计入 $c_2$。

$c_1 = 2$，$c_2 = 2$，$n-1 = 4$，满足。

对 $n=3$：
$p = [2,3,1]$（按公式：$n-1=2, n=3$ $\Rightarrow$ $[2,3,1]$）。

检查：

• $pos_1=3, pos_2=1$ $\Rightarrow$ $3>1$ $\Rightarrow$ $(1,2)$ 记 $c_1$。
• $pos_2=1, pos_3=2$ $\Rightarrow$ $1<2$ $\Rightarrow$ $(2,3)$ 记 $c_2$。
  $c_1=1, c_2=1$，满足。

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$5$. 结论

解的存在性：当 $n$ 为奇数时有解，偶数时无解。

奇数时构造方法（按上述交替模式）给出一个可行排列。

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实现步骤

1. 读入 $t$。
2. 对每个 $n$：
   • 若 $n$ 偶数：输出 $-1$。
   • 若 $n$ 奇数：
     • 若 $n=1$：输出 $1$。
     • 否则按规则生成：$$\text{list} = [n-1, n, n-3, n-2, n-5, n-4, \dots, 2, 3, 1] $$具体可以用循环填充数组。

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