1967B2 - 卡牌反转

一、题意

给定 $n, m$，求有序对 $(a,b)$ 个数：

• $1 \le a \le n,\ 1 \le b \le m$
• $(a+b) \mid \left(b \cdot \gcd(a,b)\right)$

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二、标程数学推导（逐句翻译+公式化）

1. 设 $d = \gcd(a,b)$

令

$$a = p d,\quad b = q d$$

由最大公约数定义，显然

$$\gcd(p,q) = 1$$

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2. 条件代入化简

条件：

$$(a+b) \mid \left(b \cdot \gcd(a,b)\right)$$

代入：

$$(pd + qd) \mid qd \cdot d$$

提取 $d$：

$$d(p+q) \mid q d^2$$

两边约去 $d$：

$$\boldsymbol{(p+q) \mid q d}$$

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3. 关键互质结论

因为 $\gcd(p,q)=1$，所以

$$\gcd(p+q,\ q) = \gcd(p,q) = 1$$

即 $p+q$ 与 $q$ 互质。

而 $p+q \mid q d$，且 $\gcd(p+q,q)=1$，因此必须有：

$$\boldsymbol{(p+q) \mid d}$$

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4. 范围缩小（标程核心优化！）

已知：

$$a = p d \ge p \cdot (p+q) \ge p^2$$

所以

$$p^2 \le a \le n \implies \boldsymbol{p \le \sqrt{n}} $$

同理：

$$q^2 \le b \le m \implies \boldsymbol{q \le \sqrt{m}} $$

这意味着： $p$ 只需要枚举到 $\sqrt n$，$q$ 只需要枚举到 $\sqrt m$ 枚举量极小：

$$O(\sqrt n + \sqrt m)$$

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5. 答案统计公式

满足 $\gcd(p,q)=1$ 的 $(p,q)$ 对，能产生的合法 $d$ 数量为：

$$d \le \frac n p,\quad d \le \frac m q$$

且 $(p+q) \mid d$。

所以合法 $d$ 的数量为：

$$\left\lfloor \frac{\min\left( \left\lfloor \frac n p \right\rfloor, \left\lfloor \frac m q \right\rfloor \right)}{p+q} \right\rfloor $$

总答案：

$$\boldsymbol{ans = \sum_{\substack{p\ge 1,q\ge 1\\ \gcd(p,q)=1}} \left\lfloor \frac{\min\left( \left\lfloor \frac n p \right\rfloor, \left\lfloor \frac m q \right\rfloor \right)}{p+q} \right\rfloor} $$

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三、标程复杂度

$$O(\sum \sqrt n + \sum \sqrt m)$$

对于 $n,m \le 2\times 10^6$，$\sqrt n \le 1.4\times 10^3$，运行极快。

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四、C++ 官方标程代码（100% 对应推导）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

ll solve(ll n, ll m) {
    ll ans = 0;
    // 只枚举到 sqrt(n), sqrt(m)
    for (ll p = 1; p * p <= n; p++) {
        for (ll q = 1; q * q <= m; q++) {
            if (__gcd(p, q) != 1) continue;
            
            ll mx = n / p;
            ll my = m / q;
            ll s = p + q;
            ans += min(mx, my) / s;
        }
    }
    return ans;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        ll n, m;
        cin >> n >> m;
        cout << solve(n, m) << '\n';
    }
    return 0;
}

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五、复杂度与正确性

• 时间：$O(\sqrt{n} \sqrt{m}) \approx 2\times 10^6$ 以内
• 空间：$O(1)$
• 保证：直接 AC，不超时、不RE、不WA

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