题目描述
题目译自 Romanian Master of Informatics $2024$ Day$1$ T$2$ 「Octagon」

一个优雅八边形是一个凸多边形，面积不为零，且边数不超过 $8$。它的每条边要么与坐标轴平行，要么与坐标轴成 $45^\circ$ 角。所有与坐标轴平行的边长度必须是整数，而其他边的长度必须是 $\sqrt{2}$ 的整数倍。下面展示了几个优雅八边形的样例：

假设你沿着一个优雅八边形的边按逆时针顺序行走，会发现它由长度为 $1$ 或 $\sqrt{2}$ 的线段组成，这些线段连接行走路径上连续的网格点。因此，这些线段可以根据方向分为 $8$ 类：北、东北、东、东南、南、西南、西和西北。

现在，假设你知道了每类线段最多能使用的数量，你能构造出多少个不同的优雅八边形呢？

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输入格式
输入只有一行，包含 $8$ 个空格分隔的整数，分别表示北、东北、东、东南、南、西南、西、西北方向上最多可用的线段数量。

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输出格式
输出一个整数，表示能构造出的优雅八边形总数，对 $10^9 + 7$ 取模。

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样例 1

输入

1 0 1 0 1 0 1 0

输出

1

在第一个样例中，唯一可能的优雅八边形是一个 $1 \times 1$ 的正方形。

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样例 2

输入

1 1 1 1 1 1 1 1

输出

19

在第二个样例中，总共有 $19$ 个不同的优雅八边形。

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样例 3

输入

2 2 2 2 2 2 2 2

输出

228

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样例 4

输入

1 2 3 4 4 3 2 1

输出

135

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样例 5

输入

100 100 100 100 100 100 100 100

输出

636061137

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数据范围与提示
对于所有输入数据，满足：

• 用 $N$ 表示输入中 $8$ 个值的最大值。
• $N \leq 1\,000\,000\,000$
• 如果一个优雅八边形可以通过平移（但不旋转）变成另一个，则认为它们相同。换句话说，两个优雅八边形相同，当且仅当它们在 $8$ 个方向上使用的线段数量完全一致。

详细子任务附加限制及分值如下表所示。

子任务	分值	附加限制
$1$	$9$	没有对角线段可用
$2$	$17$	$N \leq 100$
$3$	$29$	$N \leq 2\,000$
$4$		$N \leq 200\,000$
$5$	$16$	无附加限制