题目描述

题目译自 PA 2022 Runda 5 Nawiasowe podziały

括号序列的定义：

• () 是一个合法的括号序列。
• 如果 $S$ 是一个合法的括号序列，那么 $(S)$ 也是一个合法的括号序列。
• 如果 $S_1$ 和 $S_2$ 都是合法的括号序列，那么 $S_1S_2$ 也是一个合法的括号序列。
• 不符合上述规则的括号序列都不是合法的括号序列。

给出一个长度为 $n$ 且仅由字符 ( 和 ) 组成的字符串，以及一个数字 $k$，这个字符串不一定是合法的括号序列。你的任务是把它分成 $k$ 个非空段（每个字符必须恰好属于一段内），使得每段中是合法括号序列的子串个数之和最小。

输入格式

第一行两个整数 $n, k$ ($1 \le k \le n \le 100\,000$)，分别表示字符串长度和要分成的段数。

第二行一个长度为 $n$ 的字符串，保证字符串仅由 ( 和 ) 组成。

输出格式

输出一行一个整数，表示所有段中是合法括号序列的子串个数之和的最小值。

15 2
())(()())()(())

6

15 3
())(()())()(())

3

数据规模与约定

对于所有数据，保证：

$1 \le k \le n \le 100,000$

字符串仅由 ( 和 ) 组成

样例 1 解释：

最优的分段方法为：

())(()())()(()) = ())(()( | )()(()))
第一段中有两个子串是合法的括号序列：

()（位置 1-2）

()（位置 5-6）

第二段中有四个子串是合法的括号序列：

()（位置 10-11）

()（位置 12-13）

(())（位置 12-15）

()(())（位置 10-15）

所以把它们加起来，答案为 $2 + 4 = 6$。

样例 2 解释：

最优的分段方法为：

())(()())()(()) = ())(( | )())()(( | ))
这样分段后每段中合法括号子串数量之和最小。

子任务信息：

某些子任务满足 $n \le 18$

某些子任务满足 $n \le 300$

某些子任务满足 $n \le 4,000$

某些子任务满足 $k \le 30$

这些子任务满足条件可能不相交，也可能相交。